Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej
Definicja
Funkcją pierwotną funkcji \(f\) w przedziale \((a,b)\) nazywamy ka\.dą taką funkcję \(F\), której pochodna \(F^\prime(x)\) równa się wartości funkcji \(f(x)\) w każdym punkcie \(x\) z przedziału \((a,b)\).
Przykład
Funkcją pierwotną funkcji sinus jest minus cosinus, ponieważ \[(-\cos x)^\prime=-(-\sin x)=\sin x\] dla każdego \(x\in\mathbb{R}\). Funkcją pierwotną sinusa jest również \(f(x)=-\cos x+5\), ponieważ \[(-\cos x+5)^\prime=\sin x\qquad\forall x.\]
Twierdzenie
Niech \(F\) będzie funkcją pierwotną funkcji \(f\) na przedziale \(I\). Wówczas
- \(G(x)= F(x)+C\), gdzie \(C\in\mathbb{R}\), jest funkcją pierwotną funkcji \(f\) na \(I\),
- każda funkcja pierwotna funkcji \(f\) na \(I\) daje się zapisać jako \(H(x)=F(x)+C\), gdzie \(C\in\mathbb{R}\).
Twierdzenie
Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale, to ma w tym przedziale funkcję pierwotną.
Definicja
Całką nieoznaczoną funkcji \(f\) nazywamy zbiór funkcji \(\{F(\cdot)+C:\,C\in\mathbb{R}\}\), gdzie \(F\) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji \(f\). Używamy symbolu \(\int\!f\) lub \(\int\!f(x)dx\).
- \(\int x^a\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\), dla \(a\ne-1\), \(x\in\mathbb{R}_+\) (bo \(\left(\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\right)^\prime=\frac{(a+1)\cdot x^a}{a+1}=x^a\))
Jeśli \(a\) jest liczbą naturalną, zastrzeżenie \(x\in\mathbb{R}\); jeśli jest liczbą całkowitą ujemną, wystarczy założyć \(x\ne0\).PrzykładKilka przypadków szczególnych:- \(\int dx=x+C\)
- \(\int\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C\), \(x\in\mathbb{R}_+\)
- \(\int\frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C\), \(x\ne0\)
- \(\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C\), \(x\ne0\) (bo \((\ln x)^\prime=\frac{1}{x}\), \(\left(\ln(-x)\right)^\prime=\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}\))
- \(\int e^x dx=e^x+C\)
- \(\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\), \(a\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\)
- \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\)
- \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\)
- \(\int\frac{dx}{\cos^2x}=\text{tg}\, x+C\), \(\cos x\ne0\)
- \(\int\frac{dx}{\sin^2x}=-\text{ctg}\, x+C\), \(\sin x\ne0\)
- \(\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C_1=-\arccos x+C_2\), \(-1\lt x\lt 1\)
- \(\int\frac{dx}{x^2+1}=\text{arctg}\, x+C_1=-\text{arcctg}\, x+C_2\)
Twierdzenie
Niech funkcja \(f\) ma funkcję pierwotną w przedziale \(I\). Wówczas
$$
\left[\int\!f(x)dx\right]^\prime=f(x)
$$
dla każdego \(x\in I\).
Przykład
\begin{align*}
\int\sin x\,dx&=-\cos x+C,\quad C\in\mathbb{R},\\
(-\cos x+C)^\prime&=\sin x.
\end{align*}
Uwaga
Formalnie całka nieoznaczona jest zbiorem. W obliczeniach traktuje się ją jako funkcję o nieustalonym parametrze \(C\).
Twierdzenie
Niech funkcja \(f\) będzie różniczkowalna w przedziale \(I\). Wówczas
$$
\int\!f^\prime(x)\,dx=f(x)+C,\qquad C\in\mathbb{R},
$$
dla każdego \(x\in I\).
Przykład
\begin{align*}
(\sin x)^\prime&=\cos x,\\
\int\cos x\,dx&=\sin x+C,\qquad C\in\mathbb{R}.
\end{align*}
Twierdzenie
Całkowanie jest operacją liniową, tzn.
- jest addytywne (całka sumy jest równa sumie całek): \[\int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx\]
- oraz jednorodne (stały czynnik można wynieść przed znak całki): \[\int[a\cdot f(x)]dx=a\cdot\int f(x)\,dx.\]
Przykład
Całki z wielomianów:
$$
\int\sum_{k=0}^n\left(a_kx^k\right)dx=\sum_{k=0}^n\int a_kx^k dx=\sum_{k=0}^na_k\int x^k dx=\sum_{k=0}^n\frac{a_kx^{k+1}}{k+1}+C
$$
- \(\int(2x^2-3x+1)dx=\frac{2}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+x+C\),
- \(\int(7x^6-6x^5+5x^4-4x^3+3x^2-2x+1)dx=x^7-x^6+x^5-x^4+x^3-x^2+x+C\),
- \(\int(3x^3+x^2-x-1)dx=\frac{3x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-x+C\).
Przykład
\begin{align*}
&\int\frac{x(\sqrt{x}-x^2\sqrt[3]{x})}{\sqrt[4]{x}}\,dx=\int\frac{x(x^{1/2}-x^2\cdot x^{1/3})}{x^{1/4}}\,dx
=\int\frac{x\cdot x^{1/2}-x\cdot x^2\cdot x^{1/3}}{x^{1/4}}\,dx\\
&\qquad=\int\frac{x^{1+1/2}-x^{1+2+1/3}}{x^{1/4}}dx=\int\left(x^{3/2-1/4}-x^{10/3-1/4}\right)\,dx\\
&\qquad=\int\left(x^{5/4}-x^{37/12}\right)\,dx=\int x^{5/4}\,dx-\int x^{37/12}\,dx\\
&\qquad=\frac{x^{9/4}}{9/4}-\frac{x^{49/12}}{49/12}+C
=\frac{4}{9}x^2\sqrt[4]{x}-\frac{12}{49}x^4\sqrt[12]{x}+C
\end{align*}
Twierdzenie (Całkowanie przez części)
Jeżeli funkcje \(u\) i \(v\) mają ciągłe pochodne, to
$$
\int u(x)v^\prime(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u^\prime(x)v(x)\,dx.
$$
Przykład
-
\begin{align*}
\int x^2\ln x\,dx
&=\left[\left.\begin{array}{c}u=\ln x\\v^\prime=x^2\end{array}\right|\begin{array}{c}u^\prime=1/x\\v=x^3/3\end{array}\right]
=\frac{x^3}{3}\ln x-\int\frac{x^3}{3x}\,dx\\
&=\frac{x^3}{3}\ln x-\int\frac{x^2}{3}\,dx=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+C
\end{align*}
UwagaDopóki w przekształcanym wyrażeniu występuje całka nieoznaczona, nie ma potrzeby pisania stałej \(C\), jest ona bowiem zawarta w całce. Po obliczeniu ostatniej całki nie można zapomnieć o stałej.
- \begin{align*} &\int x^2\cos x\,dx =\left[\left.\begin{array}{c}u=x^2\\v^\prime=\cos x\end{array}\right|\begin{array}{c}u^\prime=2x\\v=\sin x\end{array}\right] =x^2\sin x-2\int x\sin x\,dx\\ &\qquad=\left[\left.\begin{array}{c}u=x\\v^\prime=\sin x\end{array}\right|\begin{array}{c}u^\prime=1\\v=-\cos x\end{array}\right] =x^2\sin x-2\left[-x\cos x-\int(-\cos x)dx\right]\\ &\qquad=x^2\sin x+2x\cos x-2\int\cos x\,dx=x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+C \end{align*}
- \begin{align*} &\int e^x\cos x\,dx =\left[\left.\begin{array}{c}u=e^x\\v^\prime=\cos x\end{array}\right|\begin{array}{c}u^\prime=e^x\\v=\sin x\end{array}\right] =e^x\sin x-\int e^x\sin x\,dx\\ &\qquad=\left[\left.\begin{array}{c}u=e^x\\v^\prime=\sin x\end{array}\right|\begin{array}{c}u^\prime=e^x\\v=-\cos x\end{array}\right] =e^x\sin x-\left[-e^x\cos x+\int e^x\cos x\,dx\right]\\ &\qquad=e^x(\sin x+\cos x)-\int e^x\cos x\,dx \end{align*} Całka z \(e^x\cos x\) występuje po obu stronach, można zatem obliczyć jej wartość rozwiązując równanie $$ \int e^x\cos x\,dx=e^x(\sin x+\cos x)-\int e^x\cos x\,dx. $$ Pamiętać trzeba, że całka jest określona z dokładnością do stałej, czyli po lewej i po prawej stronie równania moż emieć różne wielkości. Zapiszemy to jako $$ \int e^x\cos x\,dx=e^x(\sin x+\cos x)-\int e^x\cos x\,dx+C. $$ Po uproszczeniu otrzymujemy $$ \int e^x\cos x\,dx=\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C. $$ Zwróćmy uwagę, że \(C\) oznacza teraz inna sta\lą niż w równaniu powyżej.
Uwaga
Przy całkowaniu przez części jako funkcję \(v^\prime\), czyli tę, która podlegać będzie całkowaiu, wybieramy funkcję, która ma całkę wyrażalną w prosty sposób, np. sinus, cosinus lub funkcję wykładniczą, czasem też funkcję potęgową (patrz pierwszy przykład). W przypadku jednomianów staramy się zazwyczaj obniżyć ich stopień, patrz przykład drugi.
Twierdzenie (Całkowanie przez podstawianie)
Jeżeli
- funkcja \(f:\,I\to\mathbb{R}\) jest ciągła na przedziale \(I\),
- funkcja \(u:\,J\to I\) ma ciąg\lą pochodną na przedziale \(J\),
Przykład
- \begin{align*} \int\text{tg}\, x\,dx&=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx=\left[\begin{array}{c}u=\cos x\\u^\prime =-\sin x\end{array}\right]=-\int\frac{du}{u}=-\ln|u|+C\\ &=-\ln|\cos x|+C,\qquad x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z} \end{align*}
- \begin{align*} \int\frac{2x}{\sqrt{x^2-1}}\,dx=\left[\begin{array}{c}u=x^2-1\\du=2x\,dx\end{array}\right]=\int\frac{du}{\sqrt{u}}=2\sqrt{u}+C&=2\sqrt{x^2-1}+C,\\ &\qquad x^2-1>0 \end{align*}
Uwaga
Zwróćmy uwagę na różnice w zapisie przy wprowadzeniu zmiennej pomocniczej \(u\). W drugim przykładzie stosujemy różniczkę nowej funkcji \(du=u^\prime dx\).
Przykład
- $$ \int\frac{dx}{\sqrt{2x-3}}=\left[\begin{array}{c}t=\sqrt{2x-3}\\t^2=2x-3\\2t\,dt=2dx\end{array}\right] =\int\frac{t\,dt}{t}=\int dt=t+C=\sqrt{2x-3}+C, $$ \(x>\frac{3}{2}\), lub przy innym podstawieniu: $$ \int\frac{dx}{\sqrt{2x-3}}=\left[\begin{array}{c}t=2x-3\\dt=2dx\end{array}\right] =\frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{2}}dt=\frac{1}{2}\cdot\frac{t^\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}+C=\sqrt{2x-3}+C, $$ \(x>\frac{3}{2}\)
- \begin{align*} \int x^2\sqrt{2x^3-3}\,dx&=\left[\begin{array}{c}t=\sqrt{2x^3-3}\\t^2=2x^3-3\\2t\,dt=6x^2\,dx\end{array}\right] =\int t\cdot\frac{t}{3}\,dt=\frac{1}{3}\int t^2\,dt\\ &=\frac{1}{3}\cdot\frac{t^3}{3}+C=\frac{1}{9}\left(\sqrt{2x^3-3}\right)^3+C,\qquad x\geq\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \end{align*} lub przy innym podstawieniu: \begin{align*} \int x^2\sqrt{2x^3-3}\,dx&=\left[\begin{array}{c}t=2x^3-3\\dt=6x^2\,dx\end{array}\right] =\frac{1}{6}\int t^\frac{1}{2}\,dt=\frac{1}{6}\cdot\frac{t^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}+C\\ &=\frac{1}{9}\left(\sqrt{t}\right)^3+C=\frac{1}{9}\left(\sqrt{2x^3-3}\right)^3+C,\qquad x\geq\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \end{align*}