Pochodna funkcji
Definicja
Niech dana będzie funkcja \(f:\,A\to\mathbb{R}\), gdzie \(A\subseteq\mathbb{R}\). Jeśli istnieje granica skończona
$$
\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},
$$
to nazywamy ją pochodną funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) i oznaczamy \(f^\prime(x_0)\). Dla każdego \(h\) iloraz
$$
\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
$$
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\).
Uwaga
Należy wziąć pod uwagę również ujemne przyrosty \(h\)!
Przykład
- Niech \(f(x)=2\) i \(x_0=1\). Wówczas $$ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{2-2}{h}=\frac{0}{h}=0\longrightarrow0\quad\text{dla }h\to0. $$
- Niech \(f(x)=2x\) i \(x_0=-2\). Wówczas \begin{align*} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}&=\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\frac{2(-2+h)-2(-2)}{h}\\ &=\frac{2(-2+h+2)}{h}=\frac{2h}{h}=2\longrightarrow2\quad\text{dla }h\to0. \end{align*}
- Niech \(f(x)=a^x\) i \(x_0=1\). Wówczas \begin{align*} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}&=\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{a^{1+h}-a^1}{h}=\frac{a\cdot a^h-a}{h}\\ &=a\cdot \frac{a^h-1}{h}\longrightarrow a\cdot\ln a\quad\text{dla }h\to0. \end{align*}
Definicja
Funkcję nazywamy różniczkowalną w punkcie \(x_0\), jeśli ma w tym punkcie pochodną. Funkcję nazywamy różniczkowalną w przedziale \(I\), jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie tego przedziału. Funkcję nazywamy różniczkowalną, jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny.
Twierdzenie
Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, jest w tym punkcie ciągła.
Uwaga
Sama ciągłość nie wystarcza do tego, aby funkcja była różniczkowalna.
Przykład
Weźmy funkcję \(f(x)=|x|\) dla \(x_0=0\).
$$
\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{|h|-0}{h}=\frac{|h|}{h}
=\begin{cases}\frac{h}{h}=1,&\text{dla }h>0,\\\frac{-h}{h}=-1,&\text{dla }h<0,\end{cases}
$$
czyli nie istnieje obustronna granica.
Definicja
Niech \(f\) będzie funkcją różniczkowalną. Funkcję
$$
f^\prime:\,x\mapsto f^\prime(x)
$$
nazywamy pochodną funkcji \(f\).
Uwaga
Pochodna funkcji w punkcie jest liczbą, natomiast pochodna funkcji jest również funkcją. Każdemu punktowi swojej dziedziny przyporządkowuje wartość pochodnej funkcji wyjściowej w tym punkcie.
Uwaga
Dla oznaczenia pochodnej używa się również zapisu \(\frac{df}{dx}\).
Uwaga
Stosunkowo trudno jest obliczać wartość pochodnej funkcji w punkcie, natomiast łatwo jest znaleźć pochodną jako funkcję. Zatem aby obliczyć wartość pochodnej funkcji w punkcie, znajdujemy najpierw pochodną jako funkcję, a następnie podstawiamy wartość argumentu.
Pochodne niektórych funkcji:
\begin{align*} (c)^\prime&=0,\\ (x)^\prime&=1,\\ (x^a)^\prime&=a\cdot x^{a-1},\\ (e^x)^\prime&=e^x,\\ (a^x)^\prime&=a^x\ln a,\qquad a\in\mathbb{R}_+\setminus\{1\},\\ (\ln|x|)^\prime&=\frac{1}{x},\qquad x\in\mathbb{R}_+,\\ (\log_ax)^\prime&=\frac{1}{x\ln a},\qquad a\in\mathbb{R}_+\setminus\{1\},\\ (\sin x)^\prime&=\cos x,\\ (\cos x)^\prime&=-\sin x,\\ (\text{tg}\, x)^\prime&=\frac{1}{\cos^2x}=1+\text{tg}^2x,\qquad x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z},\\ (\text{ctg}\, x)^\prime&=-\frac{1}{\sin^2x}=-(1+\text{ctg}2x),\qquad x\ne\pi+k\pi,\,k\in\mathbb{Z},\\ (\arcsin x)^\prime&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad x\in(-1,1),\\ (\arccos x)^\prime&=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad x\in(-1,1),\\ (\text{arctg}\, x)^\prime&=\frac{1}{1+x^2},\\ (\text{arcctg}\, x)^\prime&=-\frac{1}{1+x^2}. \end{align*}Twierdzenie
Niech \(f\) i \(g\) będą funkcjami różniczkowalnymi. Wówczas
- \((f+g)^\prime(x)=f^\prime(x)+g^\prime(x)\) (tzn. różniczkowanie jest addytywne),
- \((f-g)^\prime(x)=f^\prime(x)-g^\prime(x)\),
- \((f\cdot g)^\prime(x)=f^\prime(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^\prime(x)\),
- dla \(x\) takich, że \(g(x)\ne0\): $$ \left(\frac{f}{g}\right)^\prime(x)=\frac{f^\prime(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^\prime(x)}{[g(x)]^2}. $$
Przykład
- Niech \(c\) będzie sta\lą rzeczywistą, a \(f\) funkcją różniczkowalną. Wówczas $$ [(cf)(x)]^\prime=c^\prime\cdot f(x)+c\cdot f^\prime(x)=0\cdot f(x)+c\cdot f^\prime(x)=c\cdot f^\prime(x). $$ Można to potraktować jako kolejną regu\lę różniczkowania, tzw. jednorodność.
- Niech \(f(x)\ne0\). Wtedy $$ \left(\frac{1}{f(x)}\right)^\prime=\frac{1^\prime\cdot f(x)-1\cdot f^\prime(x)}{[f(x)]^2}=\frac{-f^\prime(x)}{[f(x)]^2}. $$ Można to potraktować jako kolejną regu\lę różniczkowania.
- Różniczkowanie wielomianów: $$ \left(\sum_{k=0}^n a_kx^k\right)^\prime=\sum_{k=0}^n(a_kx^k)^\prime=\sum_{k=0}^na_k(x^k)^\prime=\sum_{k=1}^na_k\cdot kx^{k-1} =\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)a_{k+1}x^k. $$
- \begin{align*} \left(\frac{\ln x\cdot e^x}{2x^2}\right)^\prime&=\frac{(\ln x\cdot e^x)^\prime\cdot2x^2-(\ln x\cdot e^x)\cdot(2x^2)^\prime}{[2x^2]^2}\\ &=\frac{[(\ln x)^\prime\cdot e^x+\ln x\cdot(e^x)^\prime]\cdot2x^2-(\ln x\cdot e^x)\cdot(2\cdot2x)}{4x^4}\\ &=\frac{\left(\frac{1}{x}\cdot e^x+\ln x\cdot e^x\right)\cdot2x^2-4x\ln x\cdot e^x}{4x^4}\\ &=e^x\cdot\frac{2x+2x\cdot x\ln x-4x\ln x}{4x^4}=e^x\cdot\frac{1+x\ln x-2\ln x}{2x^3},\\ &x\in\mathbb{R}_+ \end{align*}
- Pochodna funkcji tangens: \begin{align*} (\text{tg}\, x)^\prime&=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^\prime=\frac{\sin^\prime x\cdot\cos x-\sin x\cdot\cos^\prime x}{\cos^2x} =\frac{\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot\sin x}{\cos^2x}\\ &=\frac{1}{\cos^2x},\qquad x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z} \end{align*}
Definicja
Operację, która jest addytywna i jednorodna nazywamy liniową.Twierdzenie (Pochodna funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja złożona \(f\circ g\) jest określona w pewnym otoczeniu punktu \(x_0\), funkcja \(g\) jest różniczkowalna w punkcie \(x_0\), a funkcja \(f\) jest różniczkowalna w punkcie \(g_0=g(x_0)\), to pochodna funkcji złożonej \(f\circ g\) w punkcie \(x_0\) dana jest wzorem
$$
(f\circ g)^\prime(x_0)=f^\prime\left(g(x_0)\right)\cdot g^\prime(x_0)=f^\prime(g_0)\cdot g^\prime(x_0).
$$
Uwaga
Można to zapisać jako
$$
\frac{d(f\circ g)}{dx}(x_0)=\frac{df}{dg}(g_0)\cdot\frac{dg}{dx}(x_0).
$$
Przykład
$$
\left(e^{1/x}\right)^\prime=e^{1/x}\cdot\frac{-1}{x^2}=\frac{-e^{1/x}}{x^2},\qquad x\ne0
$$
Twierdzenie (Pochodna funkcji odwrotnej)
Jeżeli funkcja różniczkowalna \(f\) ma funkcję odwrotną \(f^{-1}\), to pochodna funkcji odwrotnej równa się odwrtoności pochodnej:
$$
\left(f^{-1}(x)\right)^\prime=\frac{1}{f^\prime\left(f^{-1}(x)\right)}.
$$
Uwaga
Można to zapisać (skrótowo) jako
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}.
$$
Przykład
- Pochodna logarytmu: $$ (\ln x)^\prime=\left.\frac{1}{(e^y)^\prime}\right|_{y=\ln x}=\left.\frac{1}{e^y}\right|_{y=\ln x}=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x} $$
- Pochodna funkcji arcus cosinus: \begin{align*} (\arccos x)^\prime&=\left.\frac{1}{(\cos y)^\prime}\right|_{y=\arccos x}=\left.\frac{1}{-\sin y}\right|_{y=\arccos x}\\ &\overset{(\ast)}{=}\left.\frac{-1}{\sqrt{1-\cos^2y}}\right|_{y=\arccos x}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \end{align*} \((\ast)\) – w przedziale określoności funkcji arcus cosinus, czyli \((0,\pi)\), sinus jest dodatni
Definicja
Jeżeli pochodna danej funkcji \(f\) ma w pewnym punkcie \(x_0\) pochodną, to nazywamy ją drugą pochodną funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) i oznaczamy symbolem \(f^{\prime\prime}(x_0)\). Przypisując każdemu punktowi \(x\), w którym \(f\) ma drugą pochodną, wartość tejże, mamy funkcję:
\[x\mapsto f^{\prime\prime}(x),\]
nazywaną również drugą pochodną funkcji f. Oznaczamy ją również przez \(\frac{d^2f}{dx^2}\).
Uwaga
Podobnie określamy trzecią i dalsze pochodne.
Przykład
- \begin{align*} f(x)&=-4x^3+2x,\\ f^\prime(x)&=-12x^2+2,\\ f^{\prime\prime}(x)&=-24x,\\ f^{\prime\prime\prime}(x)&=-24,\\ f^{(4)}(x)&=0. \end{align*}
- \begin{align*} f(x)&=\cos\ln x,\qquad x\in\mathbb{R}_+,\\ f^\prime(x)&=-\sin\ln x\cdot\frac{1}{x}=\frac{-\sin\ln x}{x},\\ f^{\prime\prime}(x)&=\frac{\left(-\cos\ln x\cdot\frac{1}{x}\right)\cdot x-(-\sin\ln x)\cdot1}{x^2}=\frac{\sin\ln x-\cos\ln x}{x^2}\\ &=-\frac{f(x)}{x^2}-\frac{f^\prime(x)}{x},\\ f^{\prime\prime\prime}(x)&=-\frac{f^\prime(x)\cdot x^2-f(x)\cdot2x}{x^4}-\frac{f^{\prime\prime}(x)\cdot x-f^\prime(x)\cdot1}{x^2}\\ &=\frac{-xf^\prime(x)+2f(x)}{x^3}+\frac{-x^2f^{\prime\prime}(x)+xf^\prime(x)}{x^3}=\frac{2f(x)-x^2f^{\prime\prime}(x)}{x^3}\\ &=\frac{2f(x)-\left(-f(x)-xf^\prime(x)\right)}{x^3}=\frac{3f(x)+xf^\prime(x)}{x^3}\\ &=\frac{3\cos\ln x-\sin\ln x}{x^3} \end{align*}
Różniczka funkcji
Definicja
Niech funkcja \(f\) ma pochodną właściwą w punkcie \(x_0\). Różniczką funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) nazywamy funkcję \(df\) zmiennej \(\Delta x=x-x_0\) określoną wzorem
$$
df(\Delta x)=f^\prime(x_0)\Delta x.
$$
Przykład
Korzystając z różniczki funkcji oblicz przybliżone wartości podanych wyrażeń:
- \(\sqrt[4]{15,96}\),
- \(\text{arctg}\, 1,05\),
- \(\cos 0.03\),
- \(e^{-0,001}\),
- \(\ln 1,004\),
- \(\frac{1}{0,9996}\)
Szereg Taylora
Twierdzenie (Taylora)
Jeżeli funkcja \(f\) ma w otoczeniu pewnego punktu \(x_0=a\), tzn. w pewnym przedziale \((a-r,a+r)\) ciągłe pochodne do rzędu \(n\), to można ją przedstawić wzorem Taylora
\begin{align*}
\underset{\begin{array}{c}\text{wartość}\\\text{funkcji}\end{array}}{f(x)}
&=\underbrace
{f(a)+\frac{f^\prime(a)}{1!}(x\!-\!a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x\!-\!a)^2+\dots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x\!-\!a)^{n-1}}
_{\text{suma częściowa}}\\
&+\underset{\text{reszta}}{\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x\!-\!a)^n},
\end{align*}
gdzie \(c=c(x)\in(x,a)\) lub \(c=c(x)\in(a,x)\).
Uwaga
Warunek zbieżności reszt do zera jest spełniony w szczególności wtedy, gdy wszystkie pochodne są wspólnie ograniczone w przedziale \((a-r,a+r)\), tzn.
$$
|f^{(n)}(x)|\lt M
$$
dla dowolnego \(n\) i \(x\in(a-r,a+r)\).
Przykład
Rozwińmy w szereg Maclaurina funkcję sinus:
$$\begin{array}{lllll}
\sin^\prime(x)=\cos x,&&&&\sin^{(4k+1)}(x)=\cos x,\\
\sin^{\prime\prime}(x)=-\sin x,&&&&\sin^{(4k+2)}(x)=-\sin x,\\
\sin^{\prime\prime\prime}(x)=-\cos x,&&&&\sin^{(4k+3)}(x)=-\cos x,\\
\sin^{(4)}(x)=\sin x,&&&&\sin^{(4k)}(x)=\sin x.
\end{array}$$
Wszystkie te pochodne są jednostajnie (tzn. przez tę samą liczbę) ograniczone dla \(x\in\mathbb{R}\). Ponadto \(f^{(2k)}(0)=\pm\sin0=0\) oraz \(f^{(2k+1)}(x)=\pm\cos0=\pm1\). Stąd
$$
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots+\frac{x^{4k+1}}{(4k+1)!}-\frac{x^{4k+3}}{(4k+3)!}+\dots
$$
dla \(x\in\mathbb{R}\).
Przykład
- Rozwińmy w szereg Taylora funkcję \(f(x)=10x^5+7x^4-12x^3+x^2-3x+5\) w otoczeniu punktu \(x=1\). Policzmy pochodne \begin{align*} f^\prime(x)&=50x^4+28x^3-36x^2+2x-3, &f^\prime(1)=41,\\ f^{\prime\prime}(x)&=200x^3+84x^2-72x+2, &f^{\prime\prime}(1)=214,\\ f^{\prime\prime\prime}(x)&=600x^2+168x-72, &f^{\prime\prime\prime}(1)=696,\\ f^{(4)}(x)&=1200x+168, &f^{(4)}(1)=1368,\\ f^{(5)}(x)&=1200, &f^{(5)}(1)=1200, \end{align*} a wszystkie dalsze pochodne są równe zeru. Ponadto $$ f(1)=10+7-12+1-3+5=8 $$ i po podstawieniu do wzoru otrzymujemy \begin{align*} f(x)&=8+\frac{41}{1!}(x-1)+\frac{214}{2!}(x-1)^2+\frac{696}{3!}(x-1)^3+\frac{1368}{4!}(x-1)^4+\frac{1200}{5!}(x-1)^5\\ &=8+41(x-1)+107(x-1)^2+116(x-1)^3+57(x-1)^4+10(x-1)^5. \end{align*}
- Rozwińmy w szereg Taylora funkcję \(f(x)=10x^5+7x^4-12x^3+x^2-3x+5\) w otoczeniu punktu \(x=0\). Wartości pochodnych w zerze wynoszą \begin{align*} &f^\prime(0)=-3,\\ &f^{\prime\prime}(0)=2,\\ &f^{\prime\prime\prime}(0)=-72,\\ &f^{(4)}(0)=168,\\ &f^{(5)}(0)=1200, \end{align*} a każda następna zero, ponadto \(f(0)=5\). Stąd \begin{align*} f(x)&=5+\frac{-3}{1!}x+\frac{2}{2!}x^2+\frac{-72}{3!}x^3+\frac{168}{4!}x^4+\frac{1200}{5!}x^5\\ &=5-3x+x^2+12x^3+7x^4+10x^5. \end{align*} Jest to rozwinieęcie tej samej postaci, co funkcja wyjściowa.