dr hab. Ilona Iglewska-Nowak, prof. ZUT

Podziałem odcinka \([a,b]\) na \(n\) części, \(n\in\mathbb{N}\), nazywamy zbiór $$ P=\{x_0,\,x_1,\dots,x_n\}, $$ gdzie \(a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b\).

Niech funkcja \(f\) będzie ograniczona na przedziale \([a,b]\) oraz niech \(P\) będzie podziałem tego przedziału. Sumą całkową funkcji \(f\) odpowiadającą podziałowi \(P\) oraz punktom pośrednim \(\xi_k\) tego podziału, gdzie \(\xi\in[x_{k-1},x_k]\) dla \(1\leq k\leq n\), nazywamy liczbę $$ S=\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\Delta x_k,\qquad\text{gdzie }\Delta x_k=x_k-x_{k-1}. $$

1. Weźmy funkcję \(f(x)=3\) na odcinku \([1,2]\). Niech \(P\) będzie pewnym podziałem tego odcinka na \(n\) części oraz \(\xi_k\) dowolnym elementem przedziału \([x_{k-1},x_k]\). Wówczas $$ S=\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\cdot(x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^n3(x_k-x_{k-1})=3(x_n-x_0)=3(2-1)=3. $$
2. Weźmy funkcję \(f(x)=x\) na odcinku \([1,2]\). Niech \(P\) będzie podziałem tego odcinka na \(n\) równych części oraz \(\xi_k=x_{k-1}\). Wówczas \begin{align*} &S=\sum_{k=1}^nf(x_{k-1})\cdot(x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^nx_{k-1}\cdot\frac{2-1}{n}=\frac{\sum_{k=1}^nx_{k-1}}{n}\\ &\qquad=\frac{\sum_{k=1}^n\left(1+(k-1)\cdot\frac{1}{n}\right)}{n}=\frac{n+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(k-1)}{n} =1+\frac{\frac{1}{n}\frac{(0+n-1)\cdot n}{2}}{n}\\ &\qquad=1+\frac{n-1}{2n}. \end{align*}
3. Weźmy funkcję \(f(x)=x\) na odcinku \([1,2]\). Niech \(P\) będzie podziałem tego odcinka na \(n\) równych części oraz \(\xi_k=x_k\). Wówczas \begin{align*} &S=\sum_{k=1}^nf(x_k)\cdot(x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^nx_k\cdot\frac{2-1}{n}=\frac{\sum_{k=1}^nx_k}{n}\\ &\qquad=\frac{\sum_{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n}\right)}{n}=\frac{n+\frac{1}{n}\cdot\frac{(1+n)\cdot n}{2}}{n} =1+\frac{n+1}{2n}. \end{align*}

Niech funkcja \(f\) będzie ograniczona na przedziale \([a,b]\). Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji \(f\) na przedziale \([a,b]\) definiujemy jako $$ \int_a^bf(x)\,dx=\lim_{\delta(P)\to0}\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\Delta x_k, $$ gdzie \(\delta(P)=\max_{1\leq k\leq n}\{\Delta x_k\}\), o ile po prawej stronie znaku równości granica jest właściwa oraz nie zależy od sposobu podziału \(P\) przedziału ani od sposobu wyboru punktów pośrednich \(\xi_k\). Ponadto przyjmujemy $$ \int_a^af(x)\,dx=0\qquad\text{oraz}\qquad\int_b^af(x)\,dx=-\int_a^bf(x)\,dx\quad\text{dla }a\lt b. $$

Dla funkcji \(f(x)=x\) na odcinku \([1,2]\) oraz podziału \(P_n\) odcinka na \(n\) równych części mamy $$ \lim_{n\to\infty}\delta(P)=0. $$ Przy wyborze \(\xi_k=x_{k-1}\) granica sum całkowych wynosi $$ \lim_{\delta(P)\to0}S=\lim_{n\to\infty}S=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{n-1}{2n}\right)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}. $$ Przy wyborze \(\xi_k=x_k\) granica sum całkowych wynosi $$ \lim_{\delta(P)\to0}S=\lim_{n\to\infty}S=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{n+1}{2n}\right)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}. $$ Można udowodnić, że granica ta nie zależy od podziału odcinka (dopuszczalne są również podziały nierównomierne) ani od wyboru punktów \(\xi_k\). Mamy $$ \int_1^2x\,dx=\frac{3}{2}. $$

Funkcja $$ f(x)=\begin{cases}1&\text{dla }x\in\mathbb Q\\0&\text{dla }x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\end{cases} $$ jest niecałkowalna w sensie Riemanna. Dla dowolnego podziału odcinka punkty pośrednie można zarówno wybrać tak, aby \(f(\xi_k)=1\), jak i \(f(\xi_k)=0\), zatem sumy całkowe są zależne od wyboru punktów.

Punkt nieciągłości funkcji \(f\) nazywamy pierwszego rodzaju, jeżeli istnieją skończone granice lewostronna i prawostronna funkcji \(f\) w tym punkcie. W przeciwnym wypadku mówimy o nieciągłościach drugiego rodzaju.

Jeżeli funkcja \(f\) jest ograniczona na przedziale \([a,b]\) i ma na tym przedziale skończenie wiele nieciągłości, wszystkie pierwszego rodzaju, to jest na nim całkowalna.

Funkcja \(f(x)=x\) jest na odcinku \([1,2]\) ciągła. Jest zatem całkowalna, tzn. granica sum całkowych istnieje i nie zależy od podziału odcinka ani od wyboru punktów \(\xi_k\). Stosując powyższe twierdzenie nie musimy tego udowadniać na gruncie rachunku granic.

Jeżeli funkcja \(f\) jest ciągła w przedziale \([a,b]\), to $$ \int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a), $$ gdzie \(F\) oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji \(f\) w tym przedziale.

Niech \(F\) oraz \(G\) będą funkcjami pierwotnymi funkcji \(f\). Wówczas istnieje stała \(C\), taka że \(F(x)=G(x)+C\) dla każdego \(x\). Stąd wynika \[F(b)-F(a)=[G(b)+C]-[G(a)+C]=G(b)+C-G(a)-C=G(b)-G(a).\]

Całki oznaczone są addytywne wzgl\k{edem przedziału całkowania}, tzn. jeżeli \mbox{\(a\leq b\leq c\)}, to zachodzi \[\int_a^cf(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx+\int_b^cf(x)\,dx.\]

\begin{align*} &\int_1^3 3x^2\,dx=x^3|_1^3=3^3-1^3=27-1=26,\\ &\int_3^4 3x^2\,dx=x^3|_3^4=4^3-3^3=256-27=229,\\ &\int_1^4 3x^2\,dx=x^3|_1^4=4^3-1^3=256-1=255=26+229. \end{align*}

Symbol \(F(x)|_a^b\) oznacza \(F(b)-F(a)\). Jeśli w wyrażeniu \(F(x)\) występuje suma, używamy nawiasów kwadratowych: $$ [\dots+\dots+\dots]_a^b $$

Całkowanie jest operacją liniow\k{a}, tzn.

1. jest addytywne: \[\int_a^b[f(x)+g(x)]dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx\]
2. oraz jednorodne: \[\int_a^b[c\cdot f(x)]dx=c\cdot\int_a^b f(x)\,dx.\]

\begin{align*} \int_0^2(x^2+7)dx&=\left[\frac{x^3}{3}+7x\right]_0^2=\frac{2^3}{3}+7\cdot2-\frac{0^3}{3}-7\cdot0=\frac{8}{3}+14\\ &=\frac{2^3}{3}-\frac{0^3}{3}+7\cdot2-7\cdot0=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2+7x|_0^2=\int_0^2 x^2 dx+\int_0^2 7\,dx \end{align*}

Jeżeli funkcje \(u\) i \(v\) mają w przedziale \([a,b]\) ciągłe pochodne, to $$ \int_a^b u(x)v^\prime(x)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_a^b-\int_a^b u^\prime(x)v(x)\,dx. $$

\begin{align*} &\int_0^{\pi/2}x\sin x\,dx =\left[\left.\begin{array}{c}u=x\\v^\prime=\sin x\end{array}\right|\begin{array}{c}u^\prime=1\\v=-\cos x\end{array}\right] =\left[-x\cos x\right]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx\\ &\qquad=0+\left[\sin x\right]_0^{\pi/2}=1. \end{align*}

Jeżeli

1. funkcja \(g\) ma w przedziale \((a,b)\) ciąg\lą pochodną,
2. funkcja \(f\) jest ciągła w przedziale \([g(a),g(b)]\),

to zachodzi $$ \int_a^bf\left(g(x)\right)g^\prime(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(t)\,dt. $$

$$ \int_0^{\pi/2}\sin^2x\cos x\,dx=\left[\begin{array}{c}t=\sin x\\dt=\cos x\,dx\end{array}\right]=\int_0^1t^2\,dt =\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}. $$

Przy całkowaniu przez podstawianie trzeba pamiętać o zmianie granic całkowania. Z tego powodu często łatwiej jest obliczyć przez podstawianie całkę nieoznaczoną, a nastęonie podstawić wartości końców przedziału.

Niech funkcja \(f\) będzie całkowalna w przedziale \([a,b]\) oraz niech funkcja \(g\) różni się od funkcji \(f\) tylko w skończonej liczbie punktów tego przedziału. Wtedy funkcja \(g\) jest również całkowalna w przedziale \([a,b]\) oraz $$ \int_a^bg(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx. $$

Jeżeli w przedziale \([a,b]\) funkcja \(f\) jest ciągła oraz \(f(x)\geq0\), to pole obszaru ograniczonego łukiem krzywej \(y=f(x)\), odcinkiem osi \(X\) oraz prostymi \(x=a\) i \(x=b\) wynosi \[\int_a^b f(x)dx.\]

Oblicz pole figury poniżej wykresu funkcji \(f(x)=x+1\), pomiędzy prostymi \(x=1\) oraz \(x=2\). Rozwiązanie. Ponieważ dla \(x\in[1,2]\) zachodzi \(f(x)>0\), mamy $$ P=\int_1^2(x+1)dx=\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_1^2=\frac{2^2}{2}+2-\frac{1^2}{2}-1=\frac{5}{2}. $$ Z drugiej strony figura ta jest trapezem o podstawach długości \(2\) (przy \(x=1\)) oraz \(3\) (przy \(x=2\)) i wysokości \(1\). Stąd $$ P=\frac{(2+3)\cdot1}{2}=\frac{5}{2}. $$

Trapez krzywoliniowy jest to figura ograniczona dwiema krzywymi, nieprzecinającymi się, i dwiema prostymi równoległymi.

Niech funkcje \(f\) i \(g\) będą ciągłe na przedziale \([a,b]\) oraz niech \(f(x)\leq g(x)\) dla każdego \(x\in[a,b]\). Wówczas pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresami funkcji \(f\) i \(g\) oraz prostymi \(x=a\) i \(x=b\) wyraża się wzorem $$ P=\int_a^b[g(x)-f(x)]\,dx. $$

Oblicz pole figury zawartej pomiędzy krzywymi \(y=x^2-1\) i \(y=-x^2+1\). Rozwiązanie. Figura ta jest trapezem krzywoliniowym, zawartym pomiędzy prostymi \(x=-1\) i \(x=1\). Ponadto dla \(x\in(-1,1)\) zachodzi \(-x^2+1>x^2-1\). Zatem \begin{align*} P&=\int_{-1}^1[-x^2+1-(x^2-1)]dx=\int_{-1}^1(-2x^2+2)dx=\left[\frac{-2x^3}{3}+2x\right]_{-1}^1\\ &=\frac{-2}{3}+2+\frac{-2}{3}+2=2\frac{2}{3}. \end{align*}

Niech funkcja \(f\) ma ciąg\lą pochodną na przedziale \([a,b]\). Wtedy długość krzywej $$ \left\{\bigl(x,f(x)\bigr):\,x\in[a,b]\right\} $$ wyraża się wzorem $$ L=\int_a^b\sqrt{1+|f^\prime(x)|^2}\,dx. $$

Długość łuku krzywej \(y=\sqrt{1-x^2}\) dla \(x\in[-1,1]\) wynosi \begin{align*} y^\prime&=\left(\sqrt{1-x^2}\right)^\prime=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\\ L&=\int_{-1}^1\sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2}\,dx=\int_{-1}^1\sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}}\,dx =\int_{-1}^1\sqrt{\frac{1-x^2+x^2}{1-x^2}}\,dx\\ &=\int_{-1}^1\sqrt{\frac{1}{1-x^2}}\,dx=\arcsin x|_{-1}^1=\frac{\pi}{2}-\frac{-\pi}{2}=\pi. \end{align*} Zauważmy, że krzywa ta jest półokręgiem o promieniu \(1\). Jej długość obliczona w sposób elementarny wynosi \(\pi\).

Niech funkcja nieujemna \(f\) będzie ciągła w przedziale \([a,b]\) oraz niech \(T\) oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji \(f\), osią \(OX\) oraz prostymi \(x=a\) i \(x=b\). Wówczas

1. objętość bryły powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego \(T\), ograniczonego osią \(OX\), prostymi \(x=a\) i \(x=b\) oraz wykresem nieujemnej funkcji \(f\), wokół osi \(OX\) wyraża się wzorem $$ V=\pi\int_a^bf^2(x)\,dx, $$
2. objętość bryły powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego \(T\), ograniczonego osią \(OY\), wykresem funkcji \(f\), monotonicznej na przedziale \([a,b]\), oraz prostymi \(y=f(a)\) i \(y=f(b)\), wokół osi \(OY\) wyraża się wzorem $$ V=2\pi\int_a^bxf(x)\,dx. $$

Niech funkcja nieujemna \(f\) ma ciąg\lą pochodną na przedziale \([a,b]\). Wówczas

1. pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji \(f\) wokół osi \(OX\) wyraża się wzorem $$ P=2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+|f^\prime(x)|^2}\,dx, $$
2. pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji \(f\) wokół osi \(OY\) wyraża się wzorem $$ P=2\pi\int_a^bx\sqrt{1+|f^\prime(x)|^2}\,dx. $$

1. Oblicz pole powierzchni figury powstałej z obrotu łuku krzywej $$ y=\sqrt{1-x^2},\qquad x\in[-1,1], $$ wokół osi \(OX\) oraz objętość wyznaczonej przez nią bryły.

   Rozwiązanie.

   \begin{align*} P&=2\pi\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{\frac{1}{1-x^2}}\,dx=2\pi\int_{-1}^1 1\,dx=4\pi,\\ V&=\pi\int_{-1}^1\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2\,dx=\pi\int_{-1}^1(1-x^2)dx=\pi\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1\\ &=\pi\left(1-\frac{1}{3}-(-1)+\frac{-1}{3}\right)=\frac{4\pi}{3}. \end{align*} Figura ta jest sferą o promieniu \(1\). Wyznaczone elementarnie pole i objętość wynoszą odpowiednio \(4\pi\) i \(\frac{4\pi}{3}\).
2. Oblicz pole powierzchni figury powstałej z obrotu łuku krzywej $$ y=\sqrt{1-x^2},\qquad x\in[0,1], $$ wokół osi \(OY\) oraz objętość wyznaczonej przez nią bryły.

   Rozwiązanie.

   \begin{align*} P&=2\pi\int_0^1 x\cdot\sqrt{\frac{1}{1-x^2}}\,dx=\left[\begin{array}{c}u=1-x^2\\du=-2x\,dx\end{array}\right]=-\pi\int_1^0\frac{du}{\sqrt{u}}\\ &=-\pi\left[2\sqrt{u}\right]_1^0=-2\pi(0-1)=2\pi,\\ V&=2\pi\int_0^1 x\cdot\sqrt{1-x^2}\,dx=\left[\begin{array}{c}u=1-x^2\\du=-2x\,dx\end{array}\right]=-\pi\int_1^0\sqrt{u}\,du\\ &=-\pi\left[\frac{2u^{3/2}}{3}\right]_1^0=-\frac{2\pi}{3}\cdot(0-1)=\frac{2\pi}{3}. \end{align*} Figura ta jest półsferą o promieniu \(1\). Wyznaczone elementarnie pole i objętość wynoszą odpowiednio \(2\pi\) i \(\frac{2\pi}{3}\).

1. Niech funkcja \(f\) będzie określona na przedziale \([a,\infty)\). Całkę niewłaściwą I rodzaju funkcji \(f\) na \([a,\infty)\) definiujemy wzorem $$ \int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{T\to\infty}\int_a^T f(x)\,dx. $$
2. Niech funkcja \(f\) będzie określona na przedziale \((-\infty,b]\). Całkę niewłaściwą I rodzaju funkcji \(f\) na \((-\infty,b]\) definiujemy wzorem $$ \int_{-\infty}^b f(x)\,dx=\lim_{T\to-\infty}\int_T^b f(x)\,dx. $$
3. Niech funkcja \(f\) będzie określona na przedziale \((-\infty,\infty)\). Całkę niewłaściwą I rodzaju funkcji \(f\) na \((-\infty,\infty)\) definiujemy wzorem $$ \int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=\int_{-\infty}^a f(x)\,dx+\int_a^\infty f(x)\,dx, $$ gdzie \(a\) jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Jeżeli granica jest właściwa, mówimy, że całka jest zbieżna. Jeżeli granica jest równa \(\pm\infty\), mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do \(-\infty\) lub \(+\infty\). W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna.

1. $$ \int_1^\infty\frac{dx}{x^2}=\lim_{T\to\infty}\int_1^T\frac{dx}{x^2}=\lim_{T\to\infty}\left[\frac{-1}{x}\right]_1^T =\lim_{T\to\infty}\left(\frac{-1}{T}+1\right)=1 $$
2. \begin{align*} \int_{-\infty}^\infty &xe^{-x^2}\,dx=\int_{-\infty}^0xe^{-x^2}\,dx+\int_0^\infty xe^{-x^2}\,dx =\left[\begin{array}{rcl}u&=&-x^2\\du&=&-2x\,dx\end{array}\right]\\ &=-\frac{1}{2}\left(\int_\infty^0e^u\,du+\int_0^{-\infty}e^u\,du\right) =\frac{1}{2}\left(\lim_{T\to\infty}\int_0^T e^u\,du+\lim_{T\to\infty}\int_{-T}^0 e^u\,du\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(\lim_{T\to\infty}\left.e^u\right|_0^T+\lim_{T\to\infty}\left.e^u\right|_{-T}^0\right) =\frac{1}{2}\left(\lim_{T\to\infty}e^T-1+1-\lim_{T\to\infty}e^{-T}\right)=\infty \end{align*}
3. $$ \int_0^\infty\cos x\,dx=\lim_{T\to\infty}\int_0^T\cos x\,dx=\lim_{T\to\infty}\left.\sin x\right|_0^T=\lim_{T\to\infty}\sin T $$ nie istnieje

1. Niech funkcja \(f\) określona na przedziale \((a,b]\) będzie nieograniczona w prawostronnym sąsiedztwie punktu \(a\). Całkę niewłaściwą II rodzaju funkcji \(f\) na \((a,b]\) definiujemy wzorem $$ \int_a^bf(x)\,dx=\lim_{\epsilon\to0^+}\int_{a+\epsilon}^bf(x)\,dx. $$
2. Niech funkcja \(f\) określona na przedziale \([a,b)\) będzie nieograniczona w lewostronnym sąsiedztwie punktu \(b\). Całkę niewłaściwą II rodzaju funkcji \(f\) na \([a,b)\) definiujemy wzorem $$ \int_a^bf(x)\,dx=\lim_{\epsilon\to0^+}\int_a^{b-\epsilon}f(x)\,dx. $$
3. Niech funkcja \(f\) określona na przedziale \([a,c)\cup(c,b]\) będzie nieograniczona w sąsiedztwie punktu \(c\). Całkę niewłaściwą II rodzaju funkcji \(f\) na \([a,b]\) definiujemy wzorem $$ \int_a^bf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx. $$

1. $$ \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\epsilon\to0^+}\int_\epsilon^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\epsilon\to0^+}\left.2\sqrt{x}\right|_\epsilon^1 =\lim_{\epsilon\to0^+}2(1-\sqrt{\epsilon})=2 $$
2. $$ \int_0^1\frac{dx}{x^2}=\lim_{\epsilon\to0^+}\int_\epsilon^1\frac{dx}{x^2}=\lim_{\epsilon\to0^+}\left.\frac{-1}{x}\right|_\epsilon^1 =\lim_{\epsilon\to0^+}\left(-1+\frac{1}{\epsilon}\right)=\infty $$
3. \begin{align*} \int_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt[3]{x}} &=\left(\lim_{\epsilon\to0^+}\int_{-1}^{-\epsilon}\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}+\lim_{\epsilon\to0^+}\int_\epsilon^1\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}\right) =\left(\lim_{\epsilon\to0^+}\left.\frac{3\sqrt[3]{x^2}}{2}\right|_{-1}^{-\epsilon} +\lim_{\epsilon\to0^+}\left.\frac{3\sqrt[3]{x^2}}{2}\right|_\epsilon^1\right)\\ &=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(\frac{3\sqrt[3]{\epsilon^2}}{2}-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt[3]{\epsilon^2}}{2}\right) =0-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-0=0 \end{align*}
4. \begin{align*} \int_{-1}^1\frac{dx}{x^3} &=\lim_{\epsilon\to0^+}\int_{-1}^{-\epsilon}\frac{dx}{x^3}+\lim_{\epsilon\to0^+}\int_\epsilon^1\frac{dx}{x^3} =\lim_{\epsilon\to0^+}\left.\frac{-1}{2x^2}\right|_{-1}^{-\epsilon}+\lim_{\epsilon\to0^+}\left.\frac{-1}{2x^2}\right|_\epsilon^1\\ &=\lim_{\epsilon\to0^+}\frac{-1}{2\epsilon^2}+\frac{1}{2}+\frac{-1}{2}+\lim_{\epsilon\to0^+}\frac{1}{2\epsilon^2} \end{align*} Ta całka nie istnieje. Trzeba zwrócić uwgę, że pierwszego i ostatniego wyrażenia nie można skrócić, ponieważ są nieskończone.