dr hab. Ilona Iglewska-Nowak, prof. ZUT

1. Funkcja dwóch zmiennych \(f\) ma w punkcie \((x_0,y_0)\) minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie \(O(x_0,y_0)\) takie, że dla dowolnego \((x,y)\in O(x_0,y_0)\) zachodzi $$ f(x_0,y_0)\leq f(x,y). $$
2. Funkcja dwóch zmiennych \(f\) ma w punkcie \((x_0,y_0)\) minimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje sąsiedztwo \(S(x_0,y_0)\) takie, że dla dowolnego \((x,y)\in S(x_0,y_0)\) zachodzi $$ f(x_0,y_0)\lt f(x,y). $$
3. Funkcja dwóch zmiennych \(f\) ma w punkcie \((x_0,y_0)\) maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie \(O(x_0,y_0)\) takie, że dla dowolnego \((x,y)\in O(x_0,y_0)\) zachodzi $$ f(x_0,y_0)\geq f(x,y). $$
4. Funkcja dwóch zmiennych \(f\) ma w punkcie \((x_0,y_0)\) maksimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje sąsiedztwo \(S(x_0,y_0)\) takie, że dla dowolnego \((x,y)\in S(x_0,y_0)\) zachodzi $$ f(x_0,y_0)>f(x,y). $$
5. Minima i maksima lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi.

Jeżeli funkcja dwóch zmiennych \(f\) ma w punkcie \((x_0,y_0)\) ekstremum i ma w tym punkcie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, to $$ f_x^\prime(x_0,y_0)=f_y^\prime(x_0,y_0)=0. $$

Wniosek: Funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach krytycznych, tzn, takich, w których wszystkie jej pochodne pierwszego rzędu są równe zero, albo w punktach, w których choć jedna z nich nie istnieje.

Punkt, w którym wszystkie pochodne cząstkowe pewnej funkcji wielu zmiennych zerują się, nazywamy punktem stacjonarnym.

1. Jeżeli funkcja dwóch zmiennych \(f\) ma w pewnym otoczeniu punktu \((x_0,y_0)\) ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu, punkt \((x_0,y_0)\) jest punktem stacjonarnym oraz \begin{align*} W(x_0,y_0)&=\left|\begin{array}{cc}f_{xx}^{\prime\prime}(x_0,y_0) &f_{xy}^{\prime\prime}(x_0,y_0)\\ f_{yx}^{\prime\prime}(x_0,y_0) &f_{yy}^{\prime\prime}(x_0,y_0)\end{array}\right|\\ &=f_{xx}^{\prime\prime}(x_0,y_0)\cdot f_{yy}^{\prime\prime}(x_0,y_0) -f_{xy}^{\prime\prime}(x_0,y_0)\cdot f_{yx}^{\prime\prime}(x_0,y_0)>0, \end{align*} to \(f\) ma w punkcie \((x_0,y_0)\) ekstremum lokalne. Jeśli \(f_{xx}^{\prime\prime}(x_0,y_0)>0\), jest to minimum lokalne, jeśli \(f_{xx}^{\prime\prime}(x_0,y_0)\lt 0\), jest to maksimum lokalne.\\
2. Jeśli \(W(x_0,y_0)\lt 0\), to funkcja \(f\) nie ma w \((x_0,y_0)\) ekstremum lokalnego.

Ze wzgleędu na ciągłość drugich pochodnych mamy zgodnie z twierdzeniem Schwarza: $$ W(x_0,y_0)=f_{xx}^{\prime\prime}(x_0,y_0)\cdot f_{yy}^{\prime\prime}(x_0,y_0) -\left(f_{xy}^{\prime\prime}(x_0,y_0)\right)^2 $$

Jeśli \(W(x_0,y_0)=0\), to powyższe kryterium nie rozstrzyga, czy funkcja \(f\) ma w punkcie \((x_0,y_0)\) ekstremum lokalne.

\begin{align*} &f(x,y)=x^3+3xy^2-15x-12y,\\ &f_x^\prime(x,y)=3x^2+3y^2-15,\quad f_y^\prime(x,y)=6xy-12. \end{align*} Poszukajmy punktów stacjonarnych: \begin{align*} &\left\{\begin{array}{rcl}f_x^\prime(x,y)&=&0\\f_y^\prime(x,y)&=&0\end{array}\right. \iff\left\{\begin{array}{rcl}3x^2+3y^2-15&=&0\\6xy-12&=&0\end{array}\right. \overset{y\ne0}{\iff}\left\{\begin{array}{rcl}x&=&\frac{2}{y}\\\frac{2^2}{y^2}+y^2-5&=&0\end{array}\right.\\ &\frac{4}{y^2}+y^2-5=0\iff y^4-5y^2+4=0\iff(y^2-1)(y^2-4)=0\\ &\qquad\iff(y-1)(y+1)(y-2)(y+2)=0\iff y=1\lor y=-1\lor y=2\lor y=-2\\ &\left\{\begin{array}{rcl}f_x^\prime(x,y)&=&0\\f_y^\prime(x,y)&=&0\end{array}\right. \iff\left\{\begin{array}{c}x=2\\y=1\end{array}\right.\lor\left\{\begin{array}{c}x=-2\\y=-1\end{array}\right. \lor\left\{\begin{array}{c}x=1\\y=2\end{array}\right.\lor\left\{\begin{array}{c}x=-1\\y=-2\end{array}\right. \end{align*} A zatem są cztery punkty stacjonarne: \((1,2)\), \((-1,-2)\), \((2,1)\), \((-2,-1)\). Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji \(f\) wynoszą $$ f_{xx}^{\prime\prime}(x,y)=6x,\quad f_{xy}^{\prime\prime}(x,y)=6y,\quad f_{yx}^{\prime\prime}(x,y)=6y, \quad f_{yy}^{\prime\prime}(x,y)=6x. $$ Sprawdźmy znak wyznacznika \(W(x_0,y_0)\) dla punktów stacjonarnych: $$ W(x,y)=\left|\begin{array}{cc}f_{xx}^{\prime\prime}(x,y) &f_{xy}^{\prime\prime}(x,y)\\ f_{yx}^{\prime\prime}(x,y) &f_{yy}^{\prime\prime}(x,y)\end{array}\right| =\left|\begin{array}{cc}6x &6y\\ 6y &6x\end{array}\right|=36(x^2-y^2), $$ stąd $$ W(1,2)<0,\qquad W(-1,-2)<0,\quad w21="">0,\quad W(-2,-1)>0. $$ Zatem funkcja \(f\) ma w punktach \((2,1)\) i \((-2,-1)\) ekstrema lokalne. Ponieważ $$ f_{xx}^{\prime\prime}(2,1)=12>0,\quad f_{xx}^{\prime\prime}(-2,-1)=-12<0, $$ czyli funkcja \(f\) ma minimum lokalne w punkcie \((2,1)\) (\(f_{\text{min}}(2,1)=8+6-30-12=-28\)) oraz maksimum lokalne w punkcie \((-2,-1)\) (\(f_{\text{max}}(-2,-1)=-8-6+30+12=28\)).