Zastosowania pochodnych
Geometria: styczna
Niech krzywa będzie dana jako wykres funkcji, \(y = f(x)\). Aby znaleźć równanie stycznej do tej krzywej w punkcie \(p=(x_0,f(x_0))\), weźmy pod uwagę punkt położony na krzywej w bliskiej odległości \(q=(x_0+h,f(x_0+h))\). Nachył siecznej przechodzącej przez te dwa punkty równy jest ilorazowi różnicowemu $$ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. $$ Gdy punkt \(q\) zbliża się do punktu \(p\), co odpowiada zmniejszaniu się odstępu \(h\), wartość ilorazu różnicowego zbliża się do wartości pochodnej \(f^\prime(x_0)\), która jest nachyłem stycznej w punkcie \(p\). Jeśli \(f^\prime(x_0)\) jest znane, równanie stycznej jest dane jako: $$ y-f(x_0)=f^\prime(x_0)\cdot(x-x_0). $$Przykład
Aby wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x)=x^2\) w punkcie o odciętej \(x_0=1\) wykonujemy następujące kroki:
- Znajdujemy drugą współrzędną punktu styczności: dla \(x_0=1\) mamy \(y_0=1^2=1\). Zatem \((x_0,y_0)=(1,1)\).
- Obliczamy pochodnÄ… funkcji: \(f^\prime(x)=2x\).
- Podstawiamy \(x_0=1\) do pochodnej, aby znaleźć współczynnik kierunkowy stycznej: \(f^\prime(x_0)=2\cdot1=2\).
- Podstawiamy wartość \(x_0\), \(f(x_0)\) oraz \(f^\prime(x_0)\) do równania stycznej: $$ y-1=2(x-1) $$ oraz upraszczamy: $$ y=2x-1. $$
Uwaga
Funkcja jest odwzorowaniem, maszyną, która zmienia liczby w inne liczby. Jej wykres jest obiektem geometrycznym. Podobnie styczna jest obiektem geometrycznym. W powyższym przykładzie \(f(x)=x^2\) jest wzorem funkcji, \(y=x^2\) jest równaniem jej wykresu, \(y=2x-1\) jest równaniem styczenj, a \(g(x)=2x-1\) byłoby równaniem funkcji, której wykres jest styczny z wykresem funkcji \(f\).
Interpretacja fizyczna
Pochodna odległości po czasie stanowi chwilową szybkość. Czym jest szybkość chwilowa? Można to interpretować jako średnią szybkość w bardzo krótkim czasie. Załóżmy, że \(f(t)\) oznacza pozycję w czasie \(t\), którą rozumiemy jako pewną wartość (odelgłość od punktu \(0\)) na linii (linią może być droga ze Szczecina d Gorzowa). W pewnym momencie \(t\) chcielibyśmy poznać chwilową szybkość \(v(t)\). Niech zatem \(\Delta t\) będzie krótkim odcinkiem czasu. Wówczas \(f(t)\) jest pozycją w momencie \(t\), a \(f(t + \Delta t)\) jest pozycją w momencie \(t+\Delta t\). Przejechaliśmy dystans \(f(t+\Delta t)-f(t)\) w czasie \(\Delta t\). Zatem naszą średnią szybkością w czasie \(\Delta t\) jest $$ \frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}. $$ Nie chcemy jednak znać średniej szybkości w bardzo krótkim odcinku czasu, a szybkość chwilową, w danym momencie. Bierzemy szybkość średnią dla przedzia\lów czasu kurczących się do zera: $$ v(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}. $$ W podobny sposób argumentujemy, że pochodna szybkości, czyli druga pochodna pozycji, jest przyspieszeniem.Uwaga
W fizyce rozróżniamy szybkość i prędkość. Ta pierwsza jest wielkością skalarną, czyli bez wyróżnionego kierunku. Prędkość natomiast jest wielkością wektorową i jest pochdną położenia (wektorowego) po czasie.
Przykład
(ukradziony od Joela Hassa)
Ever since you started your calculus class you've suffered from blinding headaches. Nothing helps. Acupuncture, drugs, counseling, you've tried them all, but the headaches get worse and worse. The pain is unbearable, and you decide to end it all. Your drive to the middle of the Golden Gate Bridge and climb over the safety rail, 400 feet above the water. With that pain, life is not worth living, so you fling your calculus text (which you carry everywhere) over the edge, and jump out after it. Your height in feet over the water after \(t\) seconds is given by the function \(h(t) = 400 - 16t^2.\)
a. How long till you hit the water?
Solution to a): We don't need to do any fancy differentiation for this part. We just need to solve for when the height is zero. Setting \(h(t) = 0\) gives:
\begin{eqnarray*}0 = 400 -16t^2 \\ t^2 = 400/16 = 25 \\ t = 5 \end{eqnarray*}
So you hit the water after 5 seconds.
Right after you let go of the textbook your headache disappears. You realize that it is that hated text that has been the cause of all your pain. Suddenly life is a realm of wonder, calling for your presence.
b. You had lots of diving lessons when you were a kid. If you are traveling with a velocity of less than 200 feet per second, you can survive the plunge. Will you survive?
Solution to b): We need to calculate your velocity when you hit the water. Differentiating h(t) to get the velocity gives
$$
v(t) = h'(t) = -32t.
$$
So the velocity when you hit the water, when \(t=5\), is given by \(v(5) = -160\).
You hit the water at a speed of 160 feet per second, so you'll make it. The minus sign in the velocity indicates that the height is decreasing. Now, if you can just swim 2 miles in freezing water against a fierce current, you may still be able to make your 3 PM calculus class.
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Monotoniczność funkcji
Twierdzenie (Rolle)
Jeśli funkcja rzeczywista \(f\) jest ciągła na przedziale domknieętym \([a,b]\), różniczkowalna na przedziale otwartym \((a,b)\) oraz \(f(a)=f(b)\), wówczas istnieje liczba rzeczywista \(c\) w przedziale otwartym \((a,b)\), taka że
$$
f^\prime(c)=0.
$$
Twierdzenie (Larange, twierdzenie o wartości średniej)
Jeśli funkcja rzeczywista \(f\) jest ciągła na przedziale domkniętym \([a,b]\) i różniczkowalna na przedziale otwartym \((a,b)\), wówczas istnieje \(c\in(a,b)\), takie że
$$
f^\prime(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
$$
Jest to uogólnienie poprzedniego twierdzenia (podstaw \(f(a)=f(b)\)).
Wnioski:
- Jeśli pochodna funkcji \(f\) jest równa \(0\) w każdym punkcie przedziału \((a,b)\), to funkcja ta jest stała w tym przedziale.
- Jeśli pochodna funkcji \(f\) jest dodatnia w każdym punkcie przedziału \((a,b)\), to funkcja ta jest monotonicznie rosnąca w tym przedziale.
- Jeśli pochodna funkcji \(f\) jest ujemna w każdym punkcie przedziału \((a,b)\), to funkcja ta jest monotonicznie malejąca w tym przedziale.
Przykład
Zbadajmy monotoniczność funkcji \(f(x)=4+3x^2-x^3\). Jest to wielomian, zatem różniczkowalny.
\begin{align*}
&f^\prime(x)=6x-3x^2,\\
&f^\prime(x)>0\iff6x-3x^2>0\iff3x(2-x)>0\iff x\in(0,2),\\
&f^\prime(x)<0\iff6x-3x^2<0\iff x\in(-\infty,0)\cup(2,\infty).
\end{align*}
Stąd wynika, że funkcja jest rosnąca w przedziale \((0,2)\) i malejąca w przedziałach \((-\infty,0)\) oraz \(\cup(2,\infty)\).
Ekstrema lokalne funkcji
Definicja
- Funkcja rzeczywista \(f\) określona na liczbach rzeczywistych ma maksimum lokalne w punkcie \(x_0\), jeśli istnieje \(\epsilon>0\) takie, że \(f(x_0)\geq f(x)\) dla \(x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)\). Wartość funkcji w tym punkcie nazywamy maksimum funkcji.
- Funkcja rzeczywista \(f\) określona na liczbach rzeczywistych ma ścisłe maksimum lokalne w punkcie \(x_0\), jeśli istnieje \(\epsilon>0\) takie, że \(f(x_0)>f(x)\) dla \(x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)\). Wartość funkcji w tym punkcie nazywamy ścisłym maksimum funkcji.
- Funkcja rzeczywista \(f\) określona na liczbach rzeczywistych ma minimum lokalne w punkcie \(x_0\), jeśli istnieje \(\epsilon>0\) takie, że \(f(x_0)\leq f(x)\) dla \(x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)\). Wartość funkcji w tym punkcie nazywamy minimum funkcji.
- Funkcja rzeczywista \(f\) określona na liczbach rzeczywistych ma ścisłe minimum lokalne w punkcie \(x_0\), jeśli istnieje \(\epsilon>0\) takie, że \(f(x_0)
ścisłym minimum funkcji.
- (ścisłe) ekstremum lokalne to (ścisłe) minimum lub (ścisłe) maksimum.
Uwaga
Określenie ekstremum lokalnego dotyczy bardzo małego sąsiedztwa punktu \(x_0\), ekstrema lokalne mogą być położone bardzo blisko siebie.
Przykład
Funkcja \(f(x)=|x|\) ma minimum lokalne w \(x=0\).
Twierdzenie (Fermat)
Jeśli funkcja różniczkowalna ma ekstermum lokalne w \(x_0\), to \(f^\prime(x_0)=0\).
Przykład
- Wartość bezwzględna nie jest różniczkowalna w \(x_0=0\).
- Funkcja \(f(x)=x^2\) ma minimum lokalne w \(x_0=0\). Jej pochodna \(f^\prime(x)=2x\) znika w tym punkcie.
- Funkcja \(f(x)=x^3\) ma pochodnÄ… zerujÄ…cÄ… siÄ™ w \(x_0=0\) (\(f^\prime(x)=3x^2\)), ale nie ma ekstremum.
Twierdzenie
Niech \(f\) będzie funkcją różniczkowalną w przedziale \((a,b)\), taką że \(f^\prime(x_0)=0\) dla pewnego \(x_0\). Warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum w \(x_0\) jest zmiana znaku pochodnej. Jeśli pochodna zmienia znak z \(-\) na \(+\), to funkcja ma minimum lokalne. Jeśli pochodna zmienia znak z \(+\) na \(-\), to funkcja ma maksimum lokalne.
Uwaga
Warunkiem istnienia ekstremum jest zmiana znaku pochodnej w sąsiedzwtie punktu. Dla \(x_0\) pochodna może nie istnieć. Przykładem jest ekstremum wartości bezwzględniej w zerze. Nie przeciwstawia się to powyższemu twierdzeniu, w którym zakłada się różniczkowalność.
Przykład
Znajdziemy ekstrema lokalne funkcji \(f(x)=2x^3+3x^2-36x+15\).
\begin{align*}
&f^\prime(x)=6x^2+6x-36=6(x^2+x-6)\\
&f^\prime(x)=0\iff x^2+x-6=0\iff x=-3\text{ lub }x=2.
\end{align*}
\(f^\prime(x)>0\) dla \(x<-3\), \(f^\prime(x)<0\) dla \(-30\) dla \(x>2\). StÄ…d \(f\) ma maksimum w \(x=-3\) i minimum w \(x=2\).
Przykład
Pochodna wartości bezwzględnej wynosi \(-1\) dla \(x<0\) i="" 1="" dla="" x="">0\). W punkcie \(x=0\) zmienia znak z \(-\) na \(+\) (mimo że pochodna w tym punkcie nie istnieje), a funkcja ma minimum.
Jeśli funkcja \(f\) jest dwukrotnie różniczkowalna (tzn. jej pochodna ma pochodną), i jej pochodna \(f^\prime\) zmienia znak z \(-\) na \(+\) w punkcie \(x_0\), to ta pochodna jest funkcją rosnącą, a zatem \(f^{\prime\prime}\) jest dodatnie. Podobnie w przeciwnym przypadku, jeśli pochodna \(f^\prime\) zmienia znak z \(+\) na \(-\) w punkcie \(x_0\), to ta pochodna jest funkcją malejącą i stąd \(f^{\prime\prime}\) jest ujemne.
Twierdzenie
Niech \(f\) będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w przedziale \((a,b)\) i niech \(f^\prime(x_0)=0\) dla pewnego \(x_0\in(a,b)\). Wystarczającym warunkiem istnienia ekstremum w \(x_0\) jest, aby druga pochodna \(f^{\prime\prime}\) była różna od zera w \(x_0\). Jeśli \(f^{\prime\prime}(x_0)>0\), to funkcja ma minimum lokalne. Jeśli \(f^{\prime\prime}(x_0)<0\), to funkcja ma maksimum lokalne.
Przykład
Weźmy pod uwagę funkcję \(f(x)=2x^3+3x^2-36x+15\).
\begin{align*}
&f^\prime(x)=6(x^2+x-6)=0\iff x=-3\text{ lub }x=2,\\
&f^{\prime\prime}(x)=6(2x+1),\\
&f^{\prime\prime}(-3)<0,\,f^{\prime\prime}(2)>0.
\end{align*}
StÄ…d \(f\) ma minimum w \(x=-3\) i maksimum w \(x=2\).
Definicja
Funkcja ma wartość największą lub maksimum globalne w \(x_0\), jeśli \(f(x_0)\geq f(x)\) dla wszystkich \(x\). Funkcja ma wartość najmniejszą lub minimum globalne w \(x_0\), jeśli \(f(x_0)\leq f(x)\) dla wszystkich \(x\).
Uwaga
Zazwyczaj szukamy ekstremów globalnych w przedziałach domkniętych. Powodem jest, że funkcja ciągła na przedziale domkniętym zawsze ma wartość najmniejszą i największą. Może być to wartość funkcji na końcu przedziału lub w ekstremum lokalnym.
Przykład
Aby znaleźć najmniejszą i największą wartości funkcji \(f(x)=x^3-3x^2-9x+7\) w przedziale \([-2,1]\), najpierw obliczamy pochodną i jej miejsca zerowe.
\begin{align*}
&f^\prime(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)\\
&f^\prime(x)=0\iff x=-1\text{ lub }x=3.
\end{align*}
Punkt \(x=3\) nas nie interesuje, ponieważ nie leży w przedziale. W punkcie \(x=-1\) pochodna zmienia znak z \(+\) na \(-\), zatem funkcja ma lokalne maksimum równe \(f(-1)=12\). Wartości na końcach przedziału wynoszą:
\begin{align*}
&f(-2)=5,\\
&f(1)=-4.
\end{align*}
Najmniejsza i największa wartości funkcji \(f\) w przedziale \([-2,1]\) to największa i najmniejsza z liczb \(12\), \(5\), \(-4\). Funkcja ma maksimum globalne równe \(12\) w punkcie \(x=-1\) i minimum globalne równe \(-4\) w punkcie \(x=1\).
Uwaga
Skoro i tak trzeba obliczyć wartość funkcji w ekstremum, nie musimy rozważać, czy jest to minimum lokalne, czy maksimum lokalne. Nie musimy nawet sprawdzać, czy faktycznie jest to ekstremum (wystarczy punkt ,,podejrzany''): wartość funkcji w takim punkcie porównujemy później z wartościami na końcach przedziału.
Uwaga
Jeśli szukamy wy\lącznie globalnych minimów albo wyłącznie globalnych maksimów, może być lepiej sprawdzić, czy znalezoine ekstremum lokalne jest minimum czy maksimum.
Wypukłość funkcji, punkty przegięcia
Twierdzenie
- Warunkiem wystarczającym wypukłości w dół krzywej \(y=f(x)\) w przedziale \((a,b)\) jest, aby druga pochodna funkcji \(f\) była w tym przedziale nieujemna:
$$
f^{\prime\prime}(x)\geq0\quad\text{dla}\quad x\in(a,b).
$$
- Warunkiem wystarczającym wypukłości w górę krzywej \(y=f(x)\) w przedziale \((a,b)\) jest, aby druga pochodna funkcji \(f\) była w tym przedziale niedodatnia
$$
f^{\prime\prime}(x)\leq0\quad\text{dla}\quad x\in(a,b).
$$
Przykład
- Druga pochodna funkcji kwadratowej \(x\mapsto ax^2+bx+c\) jest równa podwojonemu współczynnikowi \(a\). Jeśli jest on ujemny, funkcja jest wypukła w dół, jeśli jest dodatni, funkcja jest wypukła w górę.
- Druga pochodna funkcji \(f(x)=x^3\) dana jest wzorem \(f^{\prime\prime}(x)=6x\). Jest ona ujemna dla \(x<0\) i="" dodatnia="" dla="" x="">0\). Zatem funkcja \(f\) jest wypukÅ‚a w górÄ™ dla \(x<0\) i="" wypukåa="" w="" dã³å="" dla="" x="">0\).
Definicja
Punkt \(x_0\) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji \(f\), jeżeli przy przejściu \(x\) przez \(x_0\) odpowiedni punkt wykresu przechodzi z jednej strony stycznej (wystawionej w punkcie \((x_0,f(x_0))\)) na drugą stronę.
Uwaga
W punkcie przegięcia funkcja zmienia się z wypukłej w dół na wypuk\lą w górę bądź z wypukłej w górę na wypuk\lą w dó\l.
Twierdzenie (Warunek konieczny punktu przegięcia)
Jeśli \(x_0\) jest punktem przegięcia dwukrotnie różniczkowalnej funkcji \(f\), to druga pochodna zeruje się w tym pukcie
$$
f^{\prime\prime}(x_0)=0.
$$
Uwaga
Samo zerowanie się drugiej pochodnej nie wystarcza do tego, aby funkcja miała punkt przegięcia.
Przykład
- Druga pochodna funkcji \(x\mapsto x^3\) zeruje się w \(x_0=0\). Jest to punkt przegięcia funkcji.
- Druga pochodna funkcji \(f(x)=x^4\) to \(f^{\prime\prime}(x)=12x^2\), zeruje się ona w \(x_0=0\), jednak funkcja nie ma tu punktu przegięcia.
Twierdzenie (Warunek dostateczny punktu przegięcia)
Jeżeli w punkcie \(x_0\) druga pochodna funkcji zmienia znak, to punkt ten jest punktem przegięcia.
Uwaga
Jeśli w punkcie przegięcia istnieje druga pochodna, to jest ona równa zero (porównaj z sytuacją, gdy w ekstremum pierwsza pochodna zmienia znak).
Uwaga
Jeśli druga pochodna zmienia znak, to znaczy, że funkcja zmienia się z wypukłej w dół na wypuk\lą w górę lub z wypukłej w górę na wypuk\lą w dó\l.
Twierdzenie (Warunek dostateczny punktu przegięcia)
Jeżeli w punkcie \(x_0\) druga pochodna funkcji się zeruje, a trzecia jest niezerowa, to punkt ten jest punktem przegięcia.
Uwaga
Jeśli trzecia pochodna funkcji jest dodatnia lub ujemna, to znaczy, że druga pochodna jest rosnąca lub malejąca, zatem przechodząc przez zero zmienia znak.
Przykład
- Druga pochodna funkcji \(x\mapsto x^3\) zmienia w \(x_0=0\) znak z \(-\) na \(+\).
- Druga pochodna funkcji \(f(x)=x^4\) to jest po obu stronach \(x_0=0\) dodatnia.
Przykład
Znajdziemy punkt przegięcia funkcji \(f(x)=\frac{1}{6}x^3-x^2+4\). W tym celu obliczamy pierwszą i drugą pochodne:
\begin{align*}
&f^\prime(x)=\frac{1}{2}x^2-2x,\\
&f^{\prime\prime}(x)=x-2.
\end{align*}
Druga pochodna zmienia znak przy przejściu przez \(x=2\), zatem jest to punkt przegięcia wykresu funkcji \(f\).
Podsumowanie: Badanie przebiegu zmienności funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji polega na przeprowadzeniu następujących kroków:
- Analiza funkcji
- wyznaczenie dziedziny naturalnej funkcji
- obliczenie granic funkcji na krańcach przedzia\lów określoności
- wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych
- badanie istnienia asymptot
- badanie parzystości, okresowości
- Analiza pierwszej pochodnej
- wyznaczenie pierwszej pochodnej oraz jej dziedziny
- badanie znaku pochodnej w celu wyznaczenia przedzia\lów monotniczności funkcji
- wyznaczenie ekstremów funkcji (jeśli istnieją)
- Analiza drugiej pochodnej
- wyznaczenie drugiej pochodnej oraz jej dziedziny
- badanie znaku pochodnej w celu wyznaczenia przedzia\lów wypukłości (w górę i w dół) funkcji
- wyznaczenie punktów przegięcia (jeśli istnieją)
- Sporządzenie tabelki zmienności funkcji
- SporzÄ…dzenie wykresu funkcji
Krotność pierwiastków wielomianu
Twierdzenie
Liczba \(a\) jest \(n\) – krotnym pierwiastkiem wielominu \(p\) wtedy i tylko wtedy, gdy
\begin{align*}
&p(a)=0,\\
&p^\prime(a)=0,\\
&\dots\\
&p^{(n-1)}(a)=0,\\
&p^{(n)}(a)\ne0.
\end{align*}
Monotoniczność funkcji
Twierdzenie (Rolle)
Jeśli funkcja rzeczywista \(f\) jest ciągła na przedziale domknieętym \([a,b]\), różniczkowalna na przedziale otwartym \((a,b)\) oraz \(f(a)=f(b)\), wówczas istnieje liczba rzeczywista \(c\) w przedziale otwartym \((a,b)\), taka że
$$
f^\prime(c)=0.
$$
Twierdzenie (Larange, twierdzenie o wartości średniej)
Jeśli funkcja rzeczywista \(f\) jest ciągła na przedziale domkniętym \([a,b]\) i różniczkowalna na przedziale otwartym \((a,b)\), wówczas istnieje \(c\in(a,b)\), takie że
$$
f^\prime(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
$$
- Jeśli pochodna funkcji \(f\) jest równa \(0\) w każdym punkcie przedziału \((a,b)\), to funkcja ta jest stała w tym przedziale.
- Jeśli pochodna funkcji \(f\) jest dodatnia w każdym punkcie przedziału \((a,b)\), to funkcja ta jest monotonicznie rosnąca w tym przedziale.
- Jeśli pochodna funkcji \(f\) jest ujemna w każdym punkcie przedziału \((a,b)\), to funkcja ta jest monotonicznie malejąca w tym przedziale.
Przykład
Zbadajmy monotoniczność funkcji \(f(x)=4+3x^2-x^3\). Jest to wielomian, zatem różniczkowalny.
\begin{align*}
&f^\prime(x)=6x-3x^2,\\
&f^\prime(x)>0\iff6x-3x^2>0\iff3x(2-x)>0\iff x\in(0,2),\\
&f^\prime(x)<0\iff6x-3x^2<0\iff x\in(-\infty,0)\cup(2,\infty).
\end{align*}
Stąd wynika, że funkcja jest rosnąca w przedziale \((0,2)\) i malejąca w przedziałach \((-\infty,0)\) oraz \(\cup(2,\infty)\).
Ekstrema lokalne funkcji
Definicja
- Funkcja rzeczywista \(f\) określona na liczbach rzeczywistych ma maksimum lokalne w punkcie \(x_0\), jeśli istnieje \(\epsilon>0\) takie, że \(f(x_0)\geq f(x)\) dla \(x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)\). Wartość funkcji w tym punkcie nazywamy maksimum funkcji.
- Funkcja rzeczywista \(f\) określona na liczbach rzeczywistych ma ścisłe maksimum lokalne w punkcie \(x_0\), jeśli istnieje \(\epsilon>0\) takie, że \(f(x_0)>f(x)\) dla \(x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)\). Wartość funkcji w tym punkcie nazywamy ścisłym maksimum funkcji.
- Funkcja rzeczywista \(f\) określona na liczbach rzeczywistych ma minimum lokalne w punkcie \(x_0\), jeśli istnieje \(\epsilon>0\) takie, że \(f(x_0)\leq f(x)\) dla \(x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)\). Wartość funkcji w tym punkcie nazywamy minimum funkcji.
- Funkcja rzeczywista \(f\) określona na liczbach rzeczywistych ma ścisłe minimum lokalne w punkcie \(x_0\), jeśli istnieje \(\epsilon>0\) takie, że \(f(x_0)
- (ścisłe) ekstremum lokalne to (ścisłe) minimum lub (ścisłe) maksimum.
Uwaga
Określenie ekstremum lokalnego dotyczy bardzo małego sąsiedztwa punktu \(x_0\), ekstrema lokalne mogą być położone bardzo blisko siebie.
Przykład
Funkcja \(f(x)=|x|\) ma minimum lokalne w \(x=0\).
Twierdzenie (Fermat)
Jeśli funkcja różniczkowalna ma ekstermum lokalne w \(x_0\), to \(f^\prime(x_0)=0\).
Przykład
- Wartość bezwzględna nie jest różniczkowalna w \(x_0=0\).
- Funkcja \(f(x)=x^2\) ma minimum lokalne w \(x_0=0\). Jej pochodna \(f^\prime(x)=2x\) znika w tym punkcie.
- Funkcja \(f(x)=x^3\) ma pochodnÄ… zerujÄ…cÄ… siÄ™ w \(x_0=0\) (\(f^\prime(x)=3x^2\)), ale nie ma ekstremum.
Twierdzenie
Niech \(f\) będzie funkcją różniczkowalną w przedziale \((a,b)\), taką że \(f^\prime(x_0)=0\) dla pewnego \(x_0\). Warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum w \(x_0\) jest zmiana znaku pochodnej. Jeśli pochodna zmienia znak z \(-\) na \(+\), to funkcja ma minimum lokalne. Jeśli pochodna zmienia znak z \(+\) na \(-\), to funkcja ma maksimum lokalne.
Uwaga
Warunkiem istnienia ekstremum jest zmiana znaku pochodnej w sąsiedzwtie punktu. Dla \(x_0\) pochodna może nie istnieć. Przykładem jest ekstremum wartości bezwzględniej w zerze. Nie przeciwstawia się to powyższemu twierdzeniu, w którym zakłada się różniczkowalność.Przykład
Znajdziemy ekstrema lokalne funkcji \(f(x)=2x^3+3x^2-36x+15\).
\begin{align*}
&f^\prime(x)=6x^2+6x-36=6(x^2+x-6)\\
&f^\prime(x)=0\iff x^2+x-6=0\iff x=-3\text{ lub }x=2.
\end{align*}
\(f^\prime(x)>0\) dla \(x<-3\), \(f^\prime(x)<0\) dla \(-3Przykład
Pochodna wartości bezwzględnej wynosi \(-1\) dla \(x<0\) i="" 1="" dla="" x="">0\). W punkcie \(x=0\) zmienia znak z \(-\) na \(+\) (mimo że pochodna w tym punkcie nie istnieje), a funkcja ma minimum.
Twierdzenie
Niech \(f\) będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w przedziale \((a,b)\) i niech \(f^\prime(x_0)=0\) dla pewnego \(x_0\in(a,b)\). Wystarczającym warunkiem istnienia ekstremum w \(x_0\) jest, aby druga pochodna \(f^{\prime\prime}\) była różna od zera w \(x_0\). Jeśli \(f^{\prime\prime}(x_0)>0\), to funkcja ma minimum lokalne. Jeśli \(f^{\prime\prime}(x_0)<0\), to funkcja ma maksimum lokalne.
Przykład
Weźmy pod uwagę funkcję \(f(x)=2x^3+3x^2-36x+15\).
\begin{align*}
&f^\prime(x)=6(x^2+x-6)=0\iff x=-3\text{ lub }x=2,\\
&f^{\prime\prime}(x)=6(2x+1),\\
&f^{\prime\prime}(-3)<0,\,f^{\prime\prime}(2)>0.
\end{align*}
StÄ…d \(f\) ma minimum w \(x=-3\) i maksimum w \(x=2\).
Definicja
Funkcja ma wartość największą lub maksimum globalne w \(x_0\), jeśli \(f(x_0)\geq f(x)\) dla wszystkich \(x\). Funkcja ma wartość najmniejszą lub minimum globalne w \(x_0\), jeśli \(f(x_0)\leq f(x)\) dla wszystkich \(x\).
Uwaga
Zazwyczaj szukamy ekstremów globalnych w przedziałach domkniętych. Powodem jest, że funkcja ciągła na przedziale domkniętym zawsze ma wartość najmniejszą i największą. Może być to wartość funkcji na końcu przedziału lub w ekstremum lokalnym.
Przykład
Aby znaleźć najmniejszą i największą wartości funkcji \(f(x)=x^3-3x^2-9x+7\) w przedziale \([-2,1]\), najpierw obliczamy pochodną i jej miejsca zerowe.
\begin{align*}
&f^\prime(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)\\
&f^\prime(x)=0\iff x=-1\text{ lub }x=3.
\end{align*}
Punkt \(x=3\) nas nie interesuje, ponieważ nie leży w przedziale. W punkcie \(x=-1\) pochodna zmienia znak z \(+\) na \(-\), zatem funkcja ma lokalne maksimum równe \(f(-1)=12\). Wartości na końcach przedziału wynoszą:
\begin{align*}
&f(-2)=5,\\
&f(1)=-4.
\end{align*}
Najmniejsza i największa wartości funkcji \(f\) w przedziale \([-2,1]\) to największa i najmniejsza z liczb \(12\), \(5\), \(-4\). Funkcja ma maksimum globalne równe \(12\) w punkcie \(x=-1\) i minimum globalne równe \(-4\) w punkcie \(x=1\).
Uwaga
Skoro i tak trzeba obliczyć wartość funkcji w ekstremum, nie musimy rozważać, czy jest to minimum lokalne, czy maksimum lokalne. Nie musimy nawet sprawdzać, czy faktycznie jest to ekstremum (wystarczy punkt ,,podejrzany''): wartość funkcji w takim punkcie porównujemy później z wartościami na końcach przedziału.
Uwaga
Jeśli szukamy wy\lącznie globalnych minimów albo wyłącznie globalnych maksimów, może być lepiej sprawdzić, czy znalezoine ekstremum lokalne jest minimum czy maksimum.
Wypukłość funkcji, punkty przegięcia
Twierdzenie
- Warunkiem wystarczającym wypukłości w dół krzywej \(y=f(x)\) w przedziale \((a,b)\) jest, aby druga pochodna funkcji \(f\) była w tym przedziale nieujemna: $$ f^{\prime\prime}(x)\geq0\quad\text{dla}\quad x\in(a,b). $$
- Warunkiem wystarczającym wypukłości w górę krzywej \(y=f(x)\) w przedziale \((a,b)\) jest, aby druga pochodna funkcji \(f\) była w tym przedziale niedodatnia $$ f^{\prime\prime}(x)\leq0\quad\text{dla}\quad x\in(a,b). $$
Przykład
- Druga pochodna funkcji kwadratowej \(x\mapsto ax^2+bx+c\) jest równa podwojonemu współczynnikowi \(a\). Jeśli jest on ujemny, funkcja jest wypukła w dół, jeśli jest dodatni, funkcja jest wypukła w górę.
- Druga pochodna funkcji \(f(x)=x^3\) dana jest wzorem \(f^{\prime\prime}(x)=6x\). Jest ona ujemna dla \(x<0\) i="" dodatnia="" dla="" x="">0\). Zatem funkcja \(f\) jest wypukÅ‚a w górÄ™ dla \(x<0\) i="" wypukåa="" w="" dã³å="" dla="" x="">0\).
Definicja
Punkt \(x_0\) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji \(f\), jeżeli przy przejściu \(x\) przez \(x_0\) odpowiedni punkt wykresu przechodzi z jednej strony stycznej (wystawionej w punkcie \((x_0,f(x_0))\)) na drugą stronę.
Uwaga
W punkcie przegięcia funkcja zmienia się z wypukłej w dół na wypuk\lą w górę bądź z wypukłej w górę na wypuk\lą w dó\l.
Twierdzenie (Warunek konieczny punktu przegięcia)
Jeśli \(x_0\) jest punktem przegięcia dwukrotnie różniczkowalnej funkcji \(f\), to druga pochodna zeruje się w tym pukcie
$$
f^{\prime\prime}(x_0)=0.
$$
Uwaga
Samo zerowanie się drugiej pochodnej nie wystarcza do tego, aby funkcja miała punkt przegięcia.
Przykład
- Druga pochodna funkcji \(x\mapsto x^3\) zeruje się w \(x_0=0\). Jest to punkt przegięcia funkcji.
- Druga pochodna funkcji \(f(x)=x^4\) to \(f^{\prime\prime}(x)=12x^2\), zeruje się ona w \(x_0=0\), jednak funkcja nie ma tu punktu przegięcia.
Twierdzenie (Warunek dostateczny punktu przegięcia)
Jeżeli w punkcie \(x_0\) druga pochodna funkcji zmienia znak, to punkt ten jest punktem przegięcia.
Uwaga
Jeśli w punkcie przegięcia istnieje druga pochodna, to jest ona równa zero (porównaj z sytuacją, gdy w ekstremum pierwsza pochodna zmienia znak).Uwaga
Jeśli druga pochodna zmienia znak, to znaczy, że funkcja zmienia się z wypukłej w dół na wypuk\lą w górę lub z wypukłej w górę na wypuk\lą w dó\l.
Twierdzenie (Warunek dostateczny punktu przegięcia)
Jeżeli w punkcie \(x_0\) druga pochodna funkcji się zeruje, a trzecia jest niezerowa, to punkt ten jest punktem przegięcia.
Uwaga
Jeśli trzecia pochodna funkcji jest dodatnia lub ujemna, to znaczy, że druga pochodna jest rosnąca lub malejąca, zatem przechodząc przez zero zmienia znak.
Przykład
- Druga pochodna funkcji \(x\mapsto x^3\) zmienia w \(x_0=0\) znak z \(-\) na \(+\).
- Druga pochodna funkcji \(f(x)=x^4\) to jest po obu stronach \(x_0=0\) dodatnia.
Przykład
Znajdziemy punkt przegięcia funkcji \(f(x)=\frac{1}{6}x^3-x^2+4\). W tym celu obliczamy pierwszą i drugą pochodne:
\begin{align*}
&f^\prime(x)=\frac{1}{2}x^2-2x,\\
&f^{\prime\prime}(x)=x-2.
\end{align*}
Druga pochodna zmienia znak przy przejściu przez \(x=2\), zatem jest to punkt przegięcia wykresu funkcji \(f\).
Podsumowanie: Badanie przebiegu zmienności funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji polega na przeprowadzeniu następujących kroków:- Analiza funkcji
- wyznaczenie dziedziny naturalnej funkcji
- obliczenie granic funkcji na krańcach przedzia\lów określoności
- wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych
- badanie istnienia asymptot
- badanie parzystości, okresowości
- Analiza pierwszej pochodnej
- wyznaczenie pierwszej pochodnej oraz jej dziedziny
- badanie znaku pochodnej w celu wyznaczenia przedzia\lów monotniczności funkcji
- wyznaczenie ekstremów funkcji (jeśli istnieją)
- Analiza drugiej pochodnej
- wyznaczenie drugiej pochodnej oraz jej dziedziny
- badanie znaku pochodnej w celu wyznaczenia przedzia\lów wypukłości (w górę i w dół) funkcji
- wyznaczenie punktów przegięcia (jeśli istnieją)
- Sporządzenie tabelki zmienności funkcji
- SporzÄ…dzenie wykresu funkcji
Krotność pierwiastków wielomianu
Twierdzenie
Liczba \(a\) jest \(n\) – krotnym pierwiastkiem wielominu \(p\) wtedy i tylko wtedy, gdy
\begin{align*}
&p(a)=0,\\
&p^\prime(a)=0,\\
&\dots\\
&p^{(n-1)}(a)=0,\\
&p^{(n)}(a)\ne0.
\end{align*}
Dowód. (tylko \(\implies\))
Niech \(a\) bÄ™dzie \(n\) – krotnym pierwiastkiem wielomianu \(p\), czyli $$ p(x)=(x-a)^n\cdot q(x), $$ gdzie \(q\) jest wielomianem, takim że \(q(a)\ne0\). Mamy \begin{align*} p(a)&=0,\\ p^\prime(x)&=n\cdot(x-a)^{n-1}\cdot q(x)+(x-a)^n\cdot q^\prime(x),\\ &p^\prime(a)\begin{cases}\ne0,&\text{jeÅ›li }n=1,\\=0&\text{jeÅ›li }n>1\end{cases},\\ &\dots\\ p^{(n-1)}(x)&=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}[(x-a)^n]^{(k)}\cdot q^{(n-1-k)}(x). \end{align*} \(k\) – ta pochodna wyrażenia \((x-a)^n\) jest zawsze postaci \(c(x-a)^{n-k}\), gdzie \(c\) to pewna staÅ‚a. Skoro \(k\lt n\) (bo \(k=0,\,1,\dots,\,n-1\)), wystÄ™puje czynnik \((x-a)\), który siÄ™ zeruje dla \(x=a\). StÄ…d \(p^{(n-1)}(a)=0\). $$ p^{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}[(x-a)^n]^{(k)}\cdot q^{(n-k)}(x). $$ W sumie tej wystÄ™pujÄ… pochodne rzÄ™dów \(0,\,1,\dots,n-1\) wyrażenia \((x-a)^n\), które siÄ™ zerujÄ… dla \(x=a\) oraz skÅ‚adnik \([(x-a)^n]^{(n)}\cdot q(x)\); jest on równy \(n!\cdot q(x)\) i dla \(x=a\) różny od zera.PrzykÅ‚ad
Wielomian \(p(x)=x^3+x^2-x-1=(x+1)(x^2-1)=(x+1)^2(x-1)\) ma w \(x=-1\) pierwiastek podwójny.
\begin{align*}
&p(-1)=\{[1(-1)+1](-1)-1\}(-1)-1=[0\cdot(-1)-1](-1)-1=1-1=0,\\
&p^\prime(x)=3x^2+2x-1,\\
&p^\prime(-1)=[3(-1)+2](-1)-1=(-1)(-1)-1=1-1=0,\\
&p^{\prime\prime}(x)=6x+2,\\
&p^{\prime\prime}(-1)=-4\ne0.
\end{align*}
Szereg Taylora
Jeżeli funkcja \(f\) ma w otoczeniu pewnego punktu \(x_0=a\), tzn. w pewnym przedziale \((a-r,a+r)\) pochodne dowolnie dużych rzędów, to można ją przedstawić wzorem Taylora przy \(n\) dowolnie dużym $$ \underset{\begin{array}{c}\text{wartość}\\\text{funkcji}\end{array}}{f(x)} =\underbrace {f(a)+\frac{f^\prime(a)}{1!}(x\!-\!a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x\!-\!a)^2+\dots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x\!-\!a)^{n-1}} _{\text{suma częściowa}} +\underset{\text{reszta}}{\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x\!-\!a)^n}, $$ gdzie \(c=c(x)\in(x,a)\) lub \(c=c(x)\in(a,x)\). Jeśli dla każdego \(x\) z przedziału \((a-r,a+r)\) reszta dąży do zera przy \(n\to\infty\), to mówimy, że funkcja daje się w tym przedziale rozwinąć w szereg Taylora i piszemy $$ \underset{\begin{array}{c}\text{wartość}\\\text{funkcji}\end{array}}{f(x)} =\underbrace {f(a)+\frac{f^\prime(a)}{1!}(x\!-\!a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x\!-\!a)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x\!-\!a)^n+\dots} _{\text{szereg Taylora}} $$ dla \(|x-a|\lt r\). Prawa strona jest sumą szeregu nieskończonego. Piszemy również $$ f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\qquad\text{dla }|x-a|\lt r, $$ przy czym \(f^{(0)}\) oznacza funkcję zróżniczkowaną \(0\) razy, czyli po prostu funkcję \(f\). Jeżeli w szeregu Taylora weźmiemy \(a=0\), otrzymamy szereg Maclaurina $$ f(x)=f(0)+f^\prime(0)\cdot x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2}x^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x)}{n!}x^n+\dots. $$Uwaga
Warunek zbieżności reszt do zera jest spełniony w szczególności wtedy, gdy wszystkie pochodne są wspólnie ograniczone w przedziale \((a-r,a+r)\), tzn.
$$
|f^{(n)}(x)|\lt M
$$
dla dowolnego \(n\) i \(x\in(a-r,a+r)\).
Przykład
Rozwińmy w szereg Maclaurina funkcję sinus:
\begin{align*}
&\sin^\prime(x)=\cos x,\\
&\sin^{\prime\prime}(x)=-\sin x,\\
&\sin^{\prime\prime\prime}(x)=-\cos x,\\
&\sin^{(4)}(x)=\sin x,\\
&\sin^{(4k+1)}(x)=\cos x,\quad \sin^{(4k+2)}(x)=-\sin x,\quad\sin^{(4k+3)}(x)=-\cos x,\quad \sin^{(4k)}(x)=\sin x.
\end{align*}
Wszystkie te pochodne sÄ… jednostajnie (tzn. przez tÄ™ samÄ… liczbÄ™) ograniczone dla \(x\in\mathbb{R}\). Ponadto \(f^{(2k)}(0)=\pm\sin0=0\) oraz \(f^{(2k+1)}(x)=\pm\cos0=\pm1\). StÄ…d
$$
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots+\frac{x^{4k+1}}{(4k+1)!}-\frac{x^{4k+3}}{(4k+3)!}+\dots
$$
dla \(x\in\mathbb{R}\).
Przykład
- Rozwińmy w szereg Taylora funkcję \(f(x)=10x^5+7x^4-12x^3+x^2-3x+5\) w otoczeniu punktu \(x=1\). Policzmy pochodne \begin{align*} f^\prime(x)&=50x^4+28x^3-36x^2+2x-3, &f^\prime(1)=41,\\ f^{\prime\prime}(x)&=200x^3+84x^2-72x+2, &f^{\prime\prime}(1)=214,\\ f^{\prime\prime\prime}(x)&=600x^2+168x-72, &f^{\prime\prime\prime}(1)=696,\\ f^{(4)}(x)&=1200x+168, &f^{(4)}(1)=1368,\\ f^{(5)}(x)&=1200, &f^{(5)}(1)=1200, \end{align*} a wszystkie dalsze pochodne są równe zeru. Ponadto $$ f(1)=10+7-12+1-3+5=8 $$ i po podstawieniu do wzoru otrzymujemy \begin{align*} f(x)&=8+\frac{41}{1!}(x-1)+\frac{214}{2!}(x-1)^2+\frac{696}{3!}(x-1)^3+\frac{1368}{4!}(x-1)^4+\frac{1200}{5!}(x-1)^5\\ &=8+41(x-1)+107(x-1)^2+116(x-1)^3+57(x-1)^4+10(x-1)^5. \end{align*}
- Rozwińmy w szereg Taylora funkcję \(f(x)=10x^5+7x^4-12x^3+x^2-3x+5\) w otoczeniu punktu \(x=0\). Wartości pochodnych w zerze wynoszą \begin{align*} &f^\prime(0)=-3,\\ &f^{\prime\prime}(0)=2,\\ &f^{\prime\prime\prime}(0)=-72,\\ &f^{(4)}(0)=168,\\ &f^{(5)}(0)=1200, \end{align*} a każda następna zero, ponadto \(f(0)=5\). Stąd \begin{align*} f(x)&=5+\frac{-3}{1!}x+\frac{2}{2!}x^2+\frac{-72}{3!}x^3+\frac{168}{4!}x^4+\frac{1200}{5!}x^5\\ &=5-3x+x^2+12x^3+7x^4+10x^5. \end{align*} Jest to rozwinieęcie tej samej postaci, co funkcja wyjściowa.
Reguła de l'Hospitala
Twierdzenie
Jeżeli funkcje \(f\) i \(g\) spełniają warunki
- $$ \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=0\quad\text{lub}\quad\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=\infty, $$
- istnieje granica \(\lim_{x\to x_0}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}\),
Przykład
- Oblicz \(\lim_{x\to0}\frac{xa^x}{a^x-1}\), gdzie \(a>0\), \(a\ne1\).\\ Rozwiązanie Mamy \(\lim_{x\to0}xa^x=0\) oraz \(\lim_{x\to0}a^x-1=0\), zatem można zastosować regu\lę de l'Hospitala. $$ \lim_{x\to0}\frac{xa^x}{a^x-1}\overset{\text{H}}{=}\lim_{x\to0}\frac{a^x+xa^x\ln a}{a^x\ln a}=\frac{1+0}{\ln a}=\frac{1}{\ln a}. $$
- Oblicz \(\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-3x-1}{\sin^25x}\). Rozwiązanie Mamy \(\lim_{x\to0}e^{3x}-3x-1=0\) oraz \(\lim_{x\to0\sin^25x}=0\), zatem można zastosować regu\lę de l'Hospitala. $$ \lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-3x-1}{\sin^25x}\overset{\text{H}}{=}\lim_{x\to0}\frac{3e^{3x}-3}{2\sin5x\cdot\cos5x\cdot5} =\lim_{x\to0}\frac{3e^{3x}-3}{5\sin10x}. $$ Jest to znów wyrażenie postaci \(\left[\frac{0}{0}\right]\). Zatem $$ \dots\overset{\text{H}}{=}\lim_{x\to0}\frac{9e^{3x}}{50\cos10x}=\frac{9}{50}. $$
- Oblicz \(\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\text{ctg}\, x}\). Rozwiązanie Jest to wyrażenie postaci \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\). $$ \lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\text{ctg}\, x}\overset{\text{H}}{=}\lim_{x\to0^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{\sin^2x}} =-\lim_{x\to0^+}\frac{\sin^2x}{x}=-\lim_{x\to0^+}\sin x\cdot\lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{x}=0\cdot1=0 $$
Uwaga
Przy stosowaniu reguły de l'Hospitala trzeba sprawdzić, czy mamy do czynienia z wyrażeniem postaci \(\left[\frac{0}{0}\right]\) lub \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\)!
Uwaga
Wyrażenia postaci \(\left[0\cdot\infty\right]\) przekształcamy za pomocą
$$
f(x)g(x)=\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}
$$
w wyrażenia typu \(\left[\frac{0}{0}\right]\) lub \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\), natomiast wyrażenia typu \(\left[\infty-\infty\right]\) przekształcamy stosując wzór
$$
f(x)-g(x)=\frac{1}{\frac{1}{f(x)}}-\frac{1}{\frac{1}{g(x)}}=\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)}\cdot\frac{1}{g(x)}}.
$$
Wyrażenia postaci \([0^0]\), \([\infty^0]\) oraz \([1^\infty]\) przekształcamy za pomocą
$$
f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}
$$
w wyrażenia typu \([0\cdot\infty]\).
Przykład
- $$ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(x-\frac{\pi}{2})\text{tg}\, x=[0\cdot\infty]=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x-\frac{\pi}{2}}{\text{ctg}\, x} =\left[\frac{0}{0}\right]\overset{\text{H}}{=}\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\frac{-1}{\sin^2x}} =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(-\sin^2x)=-1 $$
- \begin{align*} \lim_{x\to1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)&=[\infty-\infty]=\lim_{x\to1}\frac{\ln x-x+1}{(x-1)\ln x} =\left[\frac{0}{0}\right]\overset{\text{H}}{=}\lim_{x\to1}\frac{\frac{1}{x}-1}{\ln x+(x-1)\cdot\frac{1}{x}}\\ &=\lim_{x\to1}\frac{\frac{1}{x}-1}{\ln x+1-\frac{1}{x}}=\left[\frac{0}{0}\right] \overset{\text{H}}{=}\lim_{x\to1}\frac{-\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=-\frac{1}{2} \end{align*}
- $$ \lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\to0}\frac{a^x\cdot\ln a}{1}=\ln a $$ (granica ta była podana jako przykład granic specjalnych)