Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
Wykłady

Przegląd niektórych funkcji elementarnych

Funkcja potęgowa

Definicja
Niech \(a\) będzie dowolną sta\lą. Funkcję $$ x\mapsto x^a, $$ nazywamy funkcją potęgową. Dziedziną funkcji potęgowej \(f(x)=x^a\) jest
  1. \(\mathbb R\), jeżeli \(a\in\mathbb N_0\),
  2. \(\mathbb R\setminus\{0\}\), jeżeli \(a\in\mathbb Z\setminus\mathbb N_0\),
  3. \(\mathbb R\), jeżeli \(a\) jest liczbą wymierną postaci \(\frac{m}{n}\), \(m,n\in\mathbb N\) względnie pierwsze, \(n\) nieparzyste,
  4. \([0,\infty)\), jeżeli \(a\) jest liczbą wymierną postaci \(\frac{m}{n}\), \(m,n\in\mathbb N\) względnie pierwsze, \(n\) parzyste,
  5. \(\mathbb R\setminus\{0\}\), jeżeli \(a\) jest liczbą wymierną postaci \(-\frac{m}{n}\), \(m,n\in\mathbb N\) względnie pierwsze, \(n\) nieparzyste,
  6. \(\mathbb R_+\) w pozostałych przypadkach.
Przykład
$$ x\mapsto x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}},\qquad x\mapsto x^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}\ln x} $$
Funkcja potęgowa jest na \(\mathbb R_+\) monotonicznie rosnąca dla \(a>0\), stała dla \(a=0\) i monotonicznie malejąca dla \(a<0\). Jest wypukła dla \(a\leq0\) oraz dla \(a\geq1\), wklęsła dla \(a\in[0,1]\). W każdym z tych wypadków wartość funkcji w jedynce wynosi jeden (\(1^a=1\)). Dla wykładnikó całkowitych parzystych jest parzysta, a dla nieparzystych i ułamkowych – nieparzysta.
Uwaga
Zachodzą następujące zależności: \begin{align*} (a\cdot b)^x&=a^x\cdot b^x,\\ \left(\frac{a}{b}\right)^x&=\frac{a^x}{b^x},\\ a^{x+y}&=a^x\cdot a^y,\\ a^{x-y}&=\frac{a^x}{a^y},\\ a^{x\cdot y}&=(a^x)^y. \end{align*} Po podstawieniu \(x=0\) do czwartego wzoru wynika stąd: $$ a^{-y}=\frac{1}{a^y}. $$
Przykład
\begin{align*} &[(a^{1/2}+b^{1/2})\cdot(a^{1/2}+5b^{1/2})-(a^{1/2}+2b^{1/2})\cdot(a^{1/2}-2b^{1/2})]:\left(2a+3\sqrt{ab}\right)\\ &\qquad=[a+6a^{1/2}b^{1/2}+5b-(a-4b)]:\left(2a+3\sqrt{ab}\right)=\frac{6\sqrt{ab}+9b}{2a+3\sqrt{ab}}\\ &\qquad=\frac{3\sqrt{b}\,(2\sqrt{a}+3\sqrt{b})}{\sqrt{a}\,(2\sqrt{a}+3\sqrt{b})}=3\sqrt{\frac{b}{a}}\qquad (a>0,\,b>0) \end{align*}

Funkcja wykładnicza

Definicja
Niech \(a\) będzie sta\lą większą od \(0\) i różną od \(1\). Funkcję \begin{align*} f:\,&\mathbb R\to\mathbb R_+,\\ &x\,\mapsto a^x, \end{align*} nazywamy funkcją wykładniczą.
Jeśli \(a>1\), funkcja jest monotonicznie rosnąca, jes\'li \(a\lt 1\), to jest ona monotonicznie malejąca. W obu przypadkach zachodzi \(f(0)=1\). Wykresy funkcji \(f(x)=a^x\) i \(g(x)=\left(\frac{1}{a}\right)^x\) są do siebie symetryczne względem osi Y. Wykres funkcji wykładniczej jest wypukły w dó\l.
Uwaga
Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja \(x\mapsto e^x\), gdzie \(e\approx2,\!7182818\) jest podstawą logarytmu naturalnego. Funkcję tę oznaczamy również jako \(x\mapsto\exp(x)\).
Definicja
Liczba \(e\) jest granicą ciągu \[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\] przy \(n\to\infty\) i wynosi około \(2,\!7182818\). Stanowi ona podstawę logartymu naturalnego.

Funkcja logarytmiczna

Definicja
Logarytm o podstawie \(a\in (0,1)\cup(1,\infty)\) to funkcja ze zbioru \(\mathbb R_+\) na \(\mathbb R\), która każdej liczbie \(x\) przyporządkowuje \(y\) takie, że $$ a^y=x. $$ Zapisujemy to jako $$ y=\log_a x. $$
Przykład
\begin{align*} \log_3 27=3\quad&\text{ponieważ}\quad3^3=27,\\ \log_2 1=0\quad&\text{ponieważ}\quad2^0=1,\\ \log_4 \frac{1}{4}=-1\quad&\text{ponieważ}\quad4^{-1}=\frac{1}{4},\\ \log_{49}7=\frac{1}{2}\quad&\text{ponieważ}\quad49^{\frac{1}{2}}=7. \end{align*}
Logarytm jest funkcją monotonicznie rosnącą i ma wklęsły wykres, jeśli \(a>1\), natomiast w przypadku, gdy \(a\lt 1\), jest monotonicznie malejący o wypukłym wykresie. W obu przypadkach (zauważ, że \(a\ne1\) z definicji) mamy \(\log1=0\). Bezpośrednio z definicji wynika $$ a^{\log_a x}=x. $$
Twierdzenie
Zachodzą następujące zależności (przy założeniu, że te wyrażenia mają sens):
  1. \(\log_a(x\cdot y)=\log_a x+\log_ay\),
  2. \(\log_a(x/y)=\log_a x-\log_ay\),
  3. \(\log_a(1/y)=-\log_ay\),
  4. \(\log_a(x^b)=b\log_ax\),
  5. \(\log_ab=\frac{1}{\log_ba}\quad\text{jeśli }b\ne1\),
  6. \(\log_ab\cdot\log_bc=\log_ac\).
Przykład
Dowód wzoru \(\log_a(x\cdot y)=\log_a x+\log_ay\): Oznaczmy \(\log_a x\) przez \(X\), a \(\log_a y\) przez \(Y\), wówczas: $$ a^{\log_ax+\log_ay}=a^{X+Y}=a^X\cdot a^Y=a^{\log_a x}\cdot a^{\log_a y}=x\cdot y, $$ a zatem $$ \log_ax+\log_ay=\log_a(x\cdot y). $$
Przykład
\begin{align*} &\log_2 12=\log_2(2^2\cdot3)=\log_2 2^2+\log_2 3=2+\log_2 3,\\ &\log_{7\sqrt{7}}7=\frac{1}{\log_7 7\sqrt{7}}=\frac{1}{\log_7(7\cdot7^{1/2})}=\frac{1}{\log_7(7^{1+1/2})}=\frac{1}{\log_7 7^{3/2}} =\frac{1}{3/2}=\frac{2}{3}. \end{align*}
Definicja
Logarytm naturalny to logarytm o podstawie \(e\), oznaczany symbolem \(\ln\). Logarytm dziesiętny to logarytm o podstawie \(10\), oznaczany symbolem \(\lg\).
Przykład
\begin{align*} &\ln x=\ln10\cdot\lg x\approx2,\!302585093\cdot\lg x\\ &\lg x=\lg e\cdot\ln x\approx0,\!434294482\cdot\ln x \end{align*}

Funkcje trygonometryczne

Definicja
Jeżeli płaski kąt skierowany \(\alpha\) ustawi się tak, że jego wierzchołek znajduje się w początku prostokątnego układu współrzędnych \(O\), pierwsze ramię kąta pokrywa się z pierwszą dodatnią półosią układu, a jego drugie ramię jest dowolną półprostą leżącą w płaszczyźnie układu, wychodzącą z punktu \(O\) oraz zawierającą pewien punkt \(M=(x,y)\), którego odległość od \(O\) wynosi \(1\), to funkcje trygonometryczne kąta skierowanego \(\alpha\) będą określone wzorami: \begin{align*} \sin\alpha&=y\qquad\text{ (sinus)},\\ \cos\alpha&=x\qquad\text{ (cosinus)},\\ \text{tg}\,\alpha&=\frac{y}{x}\qquad\text{ dla }\alpha\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\,k\in\mathbb Z\qquad\text{(tangens)},\\ \text{ctg}\,\alpha&=\frac{x}{y}\qquad\text{ dla }\alpha\ne k\pi,\,k\in\mathbb Z\qquad\text{ (cotangens)}. \end{align*}

Sinus jest funkcją nieparzystą, ograniczoną, o zakresie wartości \([-1,1]\), okresową o okresie \(2\pi\), rosnącą w przedziałach \(\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right]\), malejącą w przedziałach \(\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi\right]\), wklęsłą w przedziałach \([2k\pi, \pi+2k\pi]\), wypukłą w przedziałach \([\pi+2k\pi, 2\pi+2k\pi]\), \(k\in\mathbb Z\).

Cosinus jest funkcją parzystą, ograniczoną, o zakresie wartości \([-1,1]\), okresową o okresie \(2\pi\), rosnącą w przedziałach \([\pi+2k\pi, 2\pi+2k\pi]\), malejącą w przedziałach \([2k\pi, \pi+2k\pi]\), wklęsłą w przedziałach \(\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi\right]\), wypukłą w przedziałach \(\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi\right]\), \(k\in\mathbb Z\).

Tangens jest funkcją nieparzystą, nieograniczoną, okresową o okresie \(\pi\), rosnącą w przedziałach \(\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)\), wklęsłą w przedziałach \(\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi, k\pi\right]\), wypukłą w przedziałach \(\left[k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi\right)\), \(k\in\mathbb Z\).

Cotangens jest funkcją nieparzystą, nieograniczoną, okresową o okresie \(\pi\), malejącą w przedziałach \((k\pi,\pi+k\pi)\), wklęsłą w przedziałach \(\left[\frac{\pi}{2}+k\pi, \pi+k\pi\right)\), wypukłą w przedziałach \(\left(k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi\right]\), \(k\in\mathbb Z\).

Wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych kątów pierwszej ćwiartki:
\(\alpha\) \(0\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{\pi}{2}\)
\(\sin\alpha\)\(\frac{\sqrt{0}}{2}=0\) \(\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{4}}{2}=1\)
\(\cos\alpha\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\)
\(\text{tg}\,\alpha\) \(\frac{0}{1}=0\) \(\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}=1\) \(\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\) –
\(\text{ctg}\,\alpha\) – \(\sqrt{3}\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) 0
Pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi zachodzą m.in. następujące zależności: \begin{align*} &\text{tg}\,\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\\ &\text{ctg}\,\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha},\\ &\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\\ &\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\\ &\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta,\\ &\text{tg}\,(\alpha\pm\beta)=\frac{\text{tg}\,\alpha\pm\text{tg}\,\beta}{1\mp\text{tg}\,\alpha\text{tg}\,\beta},\\ &\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\\ &\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\\ &\text{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{-1\pm\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha}}{\text{tg}\,\alpha},\\ &\sin\alpha\pm\sin\beta=2\sin\frac{\alpha\pm\beta}{2}\cos\frac{\alpha\mp\beta}{2},\\ &\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\\ &\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},\\ &\text{tg}\,\alpha+\text{tg}\,\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}. \end{align*} Korzystając z nich, można wyprowadzić zależności między funkcjami trygonometrycznymi niektórych kątów:
\(\phi\) \(\frac{\pi}{2}-\alpha\) \(\frac{\pi}{2}+\alpha\) \(\pi-\alpha\) \(\pi+\alpha\) \(\frac{3\pi}{2}-\alpha\) \(\frac{3\pi}{2}+\alpha\) \(2\pi-\alpha\)
\(\sin\phi\) \(\cos\alpha\) \(\cos\alpha\) \(\sin\alpha\) \(-\sin\alpha\) \(-\cos\alpha\) \(-\cos\alpha\) \(-\sin\alpha\)
\(\cos\phi\) \(\sin\alpha\) \(-\sin\alpha\) \(-\cos\alpha\) \(-\cos\alpha\) \(-\sin\alpha\) \(\sin\alpha\) \(\cos\alpha\)
\(\text{tg}\,\phi\) \(\text{ctg}\,\alpha\) \(-\text{ctg}\,\alpha\) \(-\text{tg}\,\alpha\) \(\text{tg}\,\alpha\) \(\text{ctg}\,\alpha\) \(-\text{ctg}\,\alpha\) \(-\text{tg}\,\alpha\)
\(\text{ctg}\,\phi\) \(\text{tg}\,\alpha\) \(-\text{tg}\,\alpha\) \(-\text{ctg}\,\alpha\) \(\text{ctg}\,\alpha\) \(\text{tg}\,\alpha\) \(-\text{tg}\,\alpha\) \(-\text{ctg}\,\alpha\)
Przykład
Wyprowadź wzór na cosinus połowy kąta.
Rozwiązanie. \begin{align*} &\cos\alpha=\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}\right) =\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\cos\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\\ &\quad\quad=\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2}=\cos^2\frac{\alpha}{2}-\left(1-\cos^2\frac{\alpha}{2}\right) =2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1\\ &\Longrightarrow\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{\cos\alpha+1}{2} \Longrightarrow\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{\cos\alpha+1}{2}} \end{align*}
Przykład
Rozwiąż równania:
  1. \(\sin 2x=1\),
  2. \(\frac{\cos x}{1+\text{tg}\, x}=0\),
  3. \(\frac{\text{tg}\, x}{\text{tg}\, x+\text{ctg}\, x}=0\),
  4. \(5\text{tg}\,\left(\frac{1}{4}x-\frac{\pi}{5}\right)=-5\),
  5. \(\sin x+\cos x=1\),
  6. \(2\cos^2x-\sin2x=0\).

Funkcje cyklometryczne

Definicja
Funkcje cyklometryczne (kołowe) to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedzia\lów. Funkcje trygonometryczne rozpatrywane w tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne.
  1. arcus sinus \(\arcsin\) jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale \([-\pi/2,\pi/2]\). W przedziale tym sinus jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową) – wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale \([-1,1]\) (czyli obrazie przedziału \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) względem funkcji \(\sin\)).
  2. arcus cosinus \(\arccos\) jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale \([0,\pi]\). W przedziale tym cosinus jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową) – wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale \([-1,1]\) (czyli obrazie przedziału \([0,\pi]\) względem funkcji \(\cos\)).
  3. arcus tangens \(\text{arctg}\) jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale \((-\pi/2, \pi/2)\). W przedziale tym tangens jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową) – wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale \((-\infty,+\infty)\) (czyli obrazie przedziału \((-\pi/2,\pi/2)\) względem funkcji \(\text{tg}\)).
  4. arcus cotangens \(\text{arcctg}\) jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale \((0,\pi)\). W przedziale tym cotangens jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale \((-\infty,+\infty)\) (czyli obrazie przedziału \((0,\pi)\) względem funkcji \(\text{ctg}\)).