dr hab. Ilona Iglewska-Nowak, prof. ZUT

Przestrzenią dwuwymiarową (płaszczyzną) nazywamy zbiór $$ \mathbb{R}^2=\left\{(x,y):\,x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\right\}. $$

1. Otoczeniem o promieniu \(r\) punktu \(P(a,b)\) na płaszczyźnie nazywamy zbiór $$ O(P)=\{(x,y):\,(x-a)^2+(y-b)^2\lt r\}. $$
2. Sąsiedztwem o promieniu \(r\) punktu \(P(a,b)\) na płaszczyźnie nazywamy zbiór $$ S(P)=O(P)\setminus\{P\} $$

Funkcją \(f\) dwóch zmiennych określoną na zbiorze \(A\subseteq\mathbb{R}^2\) o wartościach w \(\mathbb{R}\) nazywamy jednoznaczne przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru \(A\) liczby rzeczywistej. Funkcję taką oznaczamy przez \(f:\,A\to\mathbb{R}\), \(z=f(x,y)\), gdzie \((x,y)\in A\). Wartość funkcji \(f\) w punkcie \((x,y)\) oznaczamy przez \(f(x,y)\). Zbiór \(A\) jest dziedziną funkcji i oznaczamy go przez \(D(f)\).

1. \(f:\,\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), $$ f(x,y)=\begin{cases}0&\text{dla }y\leq x\\\frac{1}{2}(y-x)&\text{dla }y>x\end{cases} $$
2. \(g:\,\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\{-1,0,1\}\), $$ g(x,y)=\begin{cases}1&\text{gdy \(x\) i \(y\) są wymierne}\\ 0&\text{gdy \(x\) i \(y\) są niewymierne}\\ -1&\text{gdy jedna z liczb jest wymierna, a druga niewymierna}\end{cases} $$
3. \(h:\,\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(h(x,y)=y(x^2-1)\)

Jeżeli funkcja dwóch zmiennych jest określona za pomocą jednego wzoru, np. \(f(x,y)=\sqrt{xy}\), to rozumiemy to w ten sposób, że funkcja ta jest określona w tym zbiorze, w którym wzór ma sens (tzw. dziedzinie naturalnej). W tym przypadku mamy \(D(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\,(x\geq0\text{ i }y\geq0)\text{ lub }(x\leq0\text{ i }y\leq0)\}\).

Wykresem funkcji dwóch zmiennych \(f\) nazywamy zbiór tych punktów w przestrzeni \(\mathbb{R}^3\), dla których \(z=f(x,y)\), $$ \{(x,y,z):\,(x,y)\in D(f),\,z=f(x,y)\}. $$

Na ogół wykresem funkcji dwóch zmiennych jest pewna powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej.

Funkcja dwóch zmiennych, zdefiniowana w pewnym sąsiedztwie punktu \((x_0,y_0)\), ma w punkcie \((x_0,y_0)\) granicę \(z_0\), jeżeli dla każdego (dowolnie małego) \(\epsilon>0\) istnieje \(\delta>0\), takie że dla każdego punktu \((x,y)\) różnego od \((x_0,y_0)\) i spełniającego nierówność \(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta\) zachodzi \(|f(x,y)-z_0|<\epsilon\).

Funkcja nie musi być zdefiniowana w punkcie \((x_0,y_0)\).

1. Rozpatrzmy funkcję $$ f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\0,&(x,y)=(0,0).\end{cases} $$ Jej granicą w punkcie \((0,0)\) jest \(0\). Dla dowolnego \(\epsilon>0\) i \((x,y)\ne(0,0)\) mamy \begin{align*} &|f(x,y)-0|<\epsilon\iff\left|\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}-0\right|<\epsilon\iff\left|x^3+y^3\right|<\epsilon\,(x^2+y^2)\\ &\qquad\Longleftarrow|x^3|<\epsilon\cdot x^2\land|y^3|<\epsilon\cdot y^2\iff|x|<\epsilon\land|y|<\epsilon \Longleftarrow\sqrt{x^2+y^2}<\epsilon. \end{align*} Zatem jeśli wybierzemy \(\delta=\epsilon\), spełnione są warunki definicji granicy.
2. Rozpatrzmy funkcję $$ f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\0,&(x,y)=(0,0).\end{cases} $$ Nie ma ona granicy w punkcie \((0,0)\). Dla każdego punktu \((x,y)=(a,a)\), \(a\ne0\) mamy \(f(x,y)=0\), natomiast dla każdego punktu \((x,y)=(a,0)\), \(a\ne0\) mamy \(f(x,y)=1\). A zatem dla każdego \(\delta>0\) w kole o promieniu \(\delta\) i środku \((0,0)\) funkcja przyjmuje wartości \(1\) oraz \(0\). Nie istnieje więc granica w punkcie \((0,0)\), gdyż nie jest prawdą, że \(\forall\epsilon>0:\,|f(x,y)|\lt \epsilon\).

Ciągiem punktów na płaszczyźnie nazywamy odwzorowanie \(P:\,\mathbb N\to\mathbb{R}^2\). Wartość tego odwzorowania dla liczby naturalnej \(n\) nazywamy \(n\) – tym wyrazem ciągu i oznaczamy przez \(P_n=(x_n,y_n)\). Sam ciąg oznaczamy symbolem \((P_n)\) lub \(\left((x_n,y_n)\right)\).

Ciąg \((P_n)=\left((x_n,y_n)\right)\) jest zbieżny do punktu \(P_0=(x_0,y_0)\), jeżeli $$ \lim_{n\to\infty}x_n=x_0\quad\text{oraz}\quad\lim_{n\to\infty}y_n=y_0. $$ Zapisujemy to jako $$ \lim_{n\to\infty}P_n=P_0\quad\text{lub}\quad\lim_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(x_0,y_0). $$

1. Ciąg \(\left(1,1+\frac{(-1)^n}{n}\right)\) jest zbieżny do punktu \((1,1)\).
2. Ciąg \(\left(1,1+(-1)^n\right)\) jest rozbieżny.

Niech \((x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2\) oraz niech funkcja \(f\) będzie określona dla pewnego sąsiedztwa \(S(x_0,y_0)\). Liczba \(z_0\) jest granicą właściwą funkcji \(f\) w punkcie \((x_0,y_0)\), jeżeli dla każdego \(((x_n,y_n))\subseteq S(x_0,y_0)\) zachodzi $$ \lim_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(x_0,y_0)\implies\lim_{n\to\infty}f(x_n,y_n)=z_0. $$ Oznaczamy to jako $$ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=z_0. $$

Definicja ta jest równoważna Definicji ???.

1. Rozpatrzmy funkcję $$ f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\0,&(x,y)=(0,0).\end{cases} $$ Jej granicą w punkcie \((0,0)\) jest \(0\). Niech \(((x_n,y_n))\) będzie dowolnym ciągiem zbieżnym do \((0,0)\). Wówczas \begin{align*} &\frac{x_n^3}{x_n^2}\longrightarrow0\quad\land\quad\frac{y_n^3}{y_n^2}\longrightarrow0 \implies\frac{x_n^3}{x_n^2+y_n^2}\longrightarrow0\quad\land\quad\frac{y_n^3}{x_n^2+y_n^2}\longrightarrow0\\ &\qquad\implies\frac{x_n^3+y_n^3}{x_n^2+y_n^2}\longrightarrow0\iff f(x_n,y_n)\longrightarrow0. \end{align*}
2. Rozpatrzmy funkcję $$ f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\0,&(x,y)=(0,0).\end{cases} $$ Nie ma ona granicy w punkcie \((0,0)\). Weźmy ciąg \((x_n,y_n)=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)\), zbieżny do \((0,0)\). Mamy $$ \lim_{n\to\infty}f\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=\lim_{n\to\infty}0=0. $$ Natomiast dla ciągu \((x_n,y_n)=\left(\frac{1}{n},0\right)\) zachodzi $$ \lim_{n\to\infty}f\left(\frac{1}{n},0\right)=\lim_{n\to\infty}1=1\ne0. $$

Funkcja dwóch zmiennych jest ciągła w punkcie \((x_0,y_0)\), jeżeli jest w tym punkcie określona, posiada granicę oraz granica funkcji jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Funkcję nazywamy ciągłą w obszarze \(M\), jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego obszaru.

Suma, różnica, iloczyn, iloraz i złożenie dwóch funkcji ciągłych są funkcjami ciągłymi w swoich dziedzinach.

Iloraz dwóch funkcji nie jest określony dla tych argumentów, dla których dzielnik jest równy zero.

1. Pochodną cząstkową (rzędu pierwszego) względem pierwszej zmiennej funkcji dwóch zmiennych w punkcie \((x_0,y_0)\) nazywamy granicę (jeśli istnieje): $$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}. $$ Oznaczamy ją przez \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\), \(f_x(x_0,y_0)\) lub \(f_x^\prime(x_0,y_0)\).
2. Pochodną cząstkową względem drugiej zmiennej funkcji dwóch zmiennych w punkcie \((x_0,y_0)\) nazywamy granicę (jeśli istnieje): $$ \lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}. $$ Oznaczamy ją przez \(\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\), \(f_y(x_0,y_0)\) lub \(f_y^\prime(x_0,y_0)\).

Praktycznie pochodną cząstkową (rzędu pierwszego) względem zmiennej \(x\) obliczamy tak, jak zwykłą pochodną funkcji jednej zmiennej, gdzie \(y\) jest parametrem. Podobnie, pochodną względem \(y\) obliczamy tak, jak pochodna funkcji jednej zmiennej, gdzie \(x\) jest parametrem.

Funkcja nie musi być ciągła, aby mieć pochodne cząstkowe w danym punkcie. Funkcja ciągła nie musi mieć pochodnych cząstkowych.

1. Funkcja dana we współrzędnych biegunowych (\(x^2+y^2=r^2\), \(\cos\phi=x/r\), \(\sin\phi=y/r\)) wzorem $$ f(r,\phi)=\begin{cases}\frac{1}{r}\sin2\phi,&r\ne0\\0,&r=0\end{cases} $$ nie ma w \(r=0\) granicy, ponieważ dla \(\phi=\frac{\pi}{4}\) mamy $$ \lim_{r\to0}f\left(r,\frac{\pi}{4}\right)=\lim_{r\to0}\frac{1}{r}\sin\frac{\pi}{2}=\lim_{r\to0}\frac{1}{r}=\infty. $$ A zatem funkcja ta nie jest ciągła w \(r=0\). Policzmy pochodną cząstkową względem \(x\). Dla \(y=0\) mamy \(\phi=0\) lub \(\phi=\pi\) i stąd \(\sin2\phi=0\). Zatem \(f(x,0)=0\) oraz \(f_x(0,0)=0\). Podobnie dla pochodnej po \(y\).
2. Funkcja \(f(x,y)=|y|\) jest ciągła w \(\mathbb{R}^2\). \(f_x(1,0)=0\), natomiast pochodna cząstkowa względem \(y\) nie istnieje w tym punkcie.

W tym wykładzie nie będziemy mówić o różniczkowalności funkcji dwóch zmiennych. Jest to zagadnienie bardziej ogólne od pochodnych cząstkowych i podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej – różniczkowalność wymaga ciągłości.

Pochodne cząstkowe względem pierwszej zmiennej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji oblicza się następująco: \begin{align*} &\frac{\partial(f\pm g)}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\pm\frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0),\\ &\frac{\partial(f\cdot g)}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot g(x_0,y_0) +f(x_0,y_0)\cdot\frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0),\\ &\frac{\partial(f/g)}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot g(x_0,y_0) -f(x_0,y_0)\cdot\frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0)}{g^2(x_0,y_0)}. \end{align*} Podobnie oblicza się pochodne cząstkowe względem drugiej zmiennej.

Jeżeli funkcja \(f\) ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru otwartego \(D\subseteq\mathbb{R}^2\), to funkcje $$ (x,y)\mapsto\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\qquad\text{oraz}\qquad(x,y)\mapsto\frac{\partial f}{\partial y}(x,y), $$ gdzie \((x,y)\in D\), nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu funkcji \(f\) na zbiorze \(D\) i oznaczamy odpowiednio \(\frac{\partial f}{\partial x}\), \(\frac{\partial f}{\partial y}\) lub \(f_x\), \(f_y\), lub \(f_x^\prime\), \(f_y^\prime\).

1. \(f(x,y)=x^2y^3-x\sin y\), $$ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy^3-\sin y,\quad\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3x^2y^2-x\cos y. $$
2. \(g(x,y)=x^5y^{10}-x^3\sin y+y^2e^x\), $$ \frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=5x^4y^{10}-3x^2\sin y+y^2e^x,\quad\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=10x^5y^9-x^3\cos y+2ye^x. $$

Wszystkie wyżej wymienione pojęcia można łatwo uogólnić na przypadek funkcji \(n\) zmiennych, tzn. takiej, której dziedziną jest podzbiór zbioru \(\mathbb{R}^n\). Rónież wykres takiej funkcji istnieje jako obiekt geometryczny, nie da się go jednak w łatwy sposób przedstawić graficznie. W szczególności istnieją pochodne cząstkowe względem poszczególnych zmiennych.

1. \(f(x,y,z)=x^2y^3z^4-y\sin z\), \begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)&=2x y^3z^4,\qquad\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=3x^2y^2z^4-\sin z,\\ &\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=4x^2y^3z^3-y\cos z. \end{align*}
2. \(g(x,y,z)=x^5y^{10}z-z\sin y+y^2e^z\). \begin{align*} \frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z)&=5x^4y^{10}z,\qquad\frac{\partial g}{\partial y}(x,y,z)=10x^5y^9z-z\cos y+2ye^z,\\ &\frac{\partial g}{\partial z}(x,y,z)=x^5y^{10}-\sin y+y^2e^z. \end{align*}

Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu pochodnych cząstkowych \(\frac{\partial f}{\partial x}\) oraz \(\frac{\partial f}{\partial y}\) nazywamy pochodnymi drugiego rzędu funkcji \(f\). Oznaczamy \begin{align*} &f_{xx}=f_{xx}^{\prime\prime}=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),\\ &f_{xy}=f_{xy}^{\prime\prime}=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right),\\ &f_{yx}=f_{yx}^{\prime\prime}=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),\\ &f_{yy}=f_{yy}^{\prime\prime}=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right). \end{align*} Podobnie (jako pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych) definiujemy pochodne cząstkowe drugiego rzędu w punkcie.

1. \(f(x,y)=x^2y^3-x\sin y\), \begin{align*} \frac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\right) =\frac{\partial}{\partial x}(2xy^3-\sin y)=2y^3\\ \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right) =\frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2-x\cos y)=6xy^2-\cos y\\ \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\right) =\frac{\partial}{\partial y}(2xy^3-\sin y)=6xy^2-\cos y\\ \frac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right) =\frac{\partial}{\partial y}(3x^2y^2-x\cos y)=6x^2y+x\sin y \end{align*}
2. \(g(x,y)=x^5y^{10}-x^3\sin y+y^2e^x\), \begin{align*} \frac{\partial^2g}{\partial x^2}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)\right) =\frac{\partial}{\partial x}(5x^4y^{10}-3x^2\sin y+y^2e^x)\\&=20x^3y^{10}-6x\sin y+y^2e^x\\ \frac{\partial^2g}{\partial x\partial y}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)\right) =\frac{\partial}{\partial x}(10x^5y^9-x^3\cos y+2ye^x)\\&=50x^4y^9-3x^2\cos y+2ye^x\\ \frac{\partial^2g}{\partial y\partial x}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)\right) =\frac{\partial}{\partial y}(5x^4y^{10}-3x^2\sin y+y^2e^x)\\&=50x^4y^9-3x^2\cos y+2ye^x\\ \frac{\partial^2g}{\partial y^2}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)\right) =\frac{\partial}{\partial y}(10x^5y^9-x^3\cos y+2ye^x)\\&=90x^5y^8+x^3\sin y+2e^x \end{align*}

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu względem co najmniej dwóch różnych zmiennych (tzn. względem zarówno \(x\) jak i \(y\) w przypadku funkcji dwóch zmiennych) nazywamy pochodnymi cząstkowymi mieszanymi. Pochodne cząstkowe drugiego rzędu względem jednej zmiennej nazywamy pochodnymi cząstkowymi czystymi.

Niech funkcja \(f\) będzie zdefiniowana na obszarze \(M\) zawierającym punkt \((x_0,y_0)\). Jeśli funkcje \(f_{xy}\) oraz \(f_{yx}\) są ciągłe w \((x_0,y_0)\) i istnieją w pewnym otoczeniu tego punktu, wówczas $$ f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0). $$

Równość pochodnych mieszanych widać na przykładzie przykładzie. Trzeba pamiętać, że pochodne drugiego rzędu muszą być ciągłe.

Funkcja $$ f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy\sin(x^2-y^2)}{x^2+y^2}&\text{dla }(x,y)\ne(0,0)\\0&\text{dla }(x,y)=(0,0)\end{cases} $$ nie spełnia założeń twierdzenia Schwarza.