dr hab. Ilona Iglewska-Nowak, prof. ZUT

Niech \((a_n)\) będzie ciągiem. Wówczas liczbę $$ S_n=a_1+a_2+\dots+a_n $$ nazywamy jego \(n\)-tą sumą cząstkową, a ciąg sum cząstkowych nazywamy szeregiem i oznaczamy przez \(\sum_{n=1}^\infty a_n\). Element \(a_n\) nazywamy wyrazem ogólnym szeregu. Jeśli \(\lim_{n\to\infty}S_n\) istnieje, mówimy, że \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) jest szeregiem zbieżnym i oznaczamy \(\lim_{n\to\infty}S_n=\sum_{n=1}^\infty a_n\) {\em(suma szeregu)}; zbieżność szeregu oznaczamy symbolem \(\left|\sum_{n=1}^\infty a_n\right|<\infty\) (można opuścić wartość bezwzględną, jeśli jest to szereg o wyrazach dodatnich). Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. Szereg \(\sum_{n=1}^\infty a_n\), dla którego zachodzi \(\sum_{n=1}^\infty |a_n|<\infty\), nazywamy zbieżnym bezwzględnie, natomiast taki, dla którego \(\left|\sum_{n=1}^\infty a_n\right|<\infty\), ale \(\sum_{n=1}^\infty |a_n|=\infty\), zbieżnym warunkowo.

1. Szereg $$ \sum_{n=1}^\infty n=1+2+\dots+n+\dots $$ jest rozbieżny do nieskończoności.
2. Szereg $$ \sum_{n=1}^\infty-n^2=-1-4-9-16-\dots-n^2-\dots $$ jest rozbieżny do minus nieskończoności.
3. Szereg $$ \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot n=-1+2-3+4-5+\dots+(-1)^n\cdot n+\dots $$ jest rozbieżny.
4. Szereg $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}+\dots $$ (szereg geometryczny) jest zbieżny do \(1\).

Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) jest to, aby jego wyraz ogólny \(a_n\) dążył do zera: $$ \lim_{n\to\infty}a_n=0. $$

W trzech pierwszych punktach poprzedniego przykładu wyraz ogólny ciągu miał granicę niewłaściwą lub nie miał granicy.

Sam fakt, że wyraz ogólny szeregu dąży do zera, nie wystarcza, aby szereg był zbieżny.

Szereg $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots $$ nazywamy szeregiem harmonicznym. Jego wyraz ogólny dąży do zera, natomiast sam szereg jest rozbieżny: \begin{align*} 1+\frac{1}{2}&+\underbrace{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}_{\geq2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}} +\underbrace{\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}}_{\geq4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2}} +\underbrace{\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}} _{\geq8\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{2}}+\dots\\ &\geq1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots=\infty \end{align*}

Jeżeli szereg \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) jest zbieżny i jego suma równa się \(s\), a \(c\) jest sta\lą, to szereg \(\sum_{n=1}^\infty ca_n\) jest zbieżny, a jego suma równa się \(cs\). Jeżeli szereg \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) jest rozbieżny, to przy \(c\ne0\) szereg \(\sum_{n=1}^\infty ca_n\) jest również rozbieżny.

1. Szereg geometryczny \(\sum_{n=0}^\infty aq^n\) jest zbieżny do \(\frac{a}{1-q}\), jeśli \(-1< q< 1\).
2. Jeżeli wyraz ogólny szeregu (jakiegokolwiek) jest zbieżny do stałej \(a\), to szereg jest rozbieżny do minus nieskończoności, jeśli \(a\lt 0\), do minus nieskończoności, jeśli \(a>0\), może być zbieżny, jeśli \(a=0\).

Szereg przemienny to taki, w którym wyrazy dodatnie i ujemne występują regularnie na przemian, np. $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}+\dots\,. $$

Jeżeli dla szeregu \(\sum_{n=1}^\infty a_n\), gdzie \(a_n\geq0\), można wskazać taki szereg zbieżny \(\sum_{n=1}^\infty b_n\), że począwszy od pewnego miejsca \(n_0\) (tzn. dla każdego \(n\geq n_0\)) zachodzi \(a_n\leq b_n\), to szereg \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) jest również zbieżny.

Szereg $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n-1}{n}\cdot\frac{1}{2^n} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+\dots $$ jest zbieżny, ponieważ dla każdego \(n\): $$ 0\leq\frac{n-1}{n}\cdot\frac{1}{2^n}\leq\frac{1}{2^n}, $$ a szereg \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\) jest geometryczny o ilorazie \(\frac{1}{2}\), a zatem zbieżny.

Jeżeli dla szeregu \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) można wskazać taki szereg rozbieżny \(\sum_{n=1}^\infty b_n\), gdzie \mbox{\(b_n\geq0\)}, że począwszy od pewnego miejsca \(n_0\) (tzn. dla każdego \(n\geq n_0\)) zachodzi \(a_n\geq b_n\), to szereg \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) jest również rozbieżny.

Szereg $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{n^2}=2+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{3^2}+\dots $$ jest rozbieżny, ponieważ dla każdego \(n\): $$ 0\leq\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n}\cdot\frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{n^2}, $$ a szereg \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\) jest harmoniczny, a zatem rozbieżny.

Przy stosowaniu powyższych kryteriów należy dobrać szereg \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) tak, aby jego zbieżność lub rozbieżność była łatwiejsza do zbadania niż zbieżność lub rozbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^\infty a_n\).

1. Jeżeli w szeregu \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) począwszy od pewnego miejsca \(n_0\) (tzn. dla każdego \(n\geq n_0\)) zachodzi $$ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq p\lt 1, $$ to szereg ten jest zbieżny.
2. Jeżeli w szeregu \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) począwszy od pewnego miejsca \(n_0\) (tzn. dla każdego \(n\geq n_0\)) zachodzi $$ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\geq1, $$ to szereg ten jest rozbieżny.

1. Jeżeli \(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r\lt 1\), to szereg \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) jest zbieżny.
2. Jeżeli \(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=s>1\), to szereg \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) jest rozbieżny.

Jeżeli \(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1\), to nie można na podstawie tego kryterium rozstrzygnąć, czy szereg jest zbieżny czy nie.

1. Szereg $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n-1}{n}\cdot\frac{1}{2^n} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+\dots $$ jest zbieżny, ponieważ $$ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{n-1}{n}\cdot\frac{1}{2^n}} =\frac{n\cdot n\cdot2^n}{(n+1)\cdot2^{n+1}\cdot(n-1)}=\frac{n^2}{n^2-1}\cdot\frac{1}{2} \underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac{1}{2}<1. $$
2. Na podstawie kryterium ilorazowego nie można zdecydować o zbieżności szeregu harmonicznego, ponieważ $$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)}{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1. $$

1. Jeżeli w szeregu \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) począwszy od pewnego miejsca \(n_0\) (tzn. dla każdego \(n\geq n_0\)) zachodzi $$ \sqrt[n]{|a_n|}\leq p\lt 1, $$ to szereg ten jest zbieżny.
2. Jeżeli w szeregu \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) począwszy od pewnego miejsca \(n_0\) (tzn. dla każdego \(n\geq n_0\)) zachodzi $$ \sqrt[n]{|a_n|}\geq1, $$ to szereg ten jest rozbieżny.

1. Jeżeli \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=r<1\), to szereg \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) jest zbieżny.
2. Jeżeli \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=s>1\), to szereg \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) jest rozbieżny.

Jeżeli \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1\), to nie można na podstawie tego kryterium rozstrzygnąć, czy szereg jest zbieżny czy nie.

Kryterium Cauchyego jest mocniejsze niż kryterium d'Alemberta, tzn. istnieją szeregi, o których zbieżności nie można zdecydować stosując kryterium d'Alemberta, natomiast kryterium Cauchyego jest rozstrzygające, np. $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{[2+(-1)^n]}{2^n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{3}{2^4}+\dots\,. $$ Kryterium d'Alemberta nie prowadzi do rozstrzygnięcia, ponieważ stosunek dwu kolejnych wyrazów ogólnych jest na przemian mniejszy i większy od jedynki. Natomiast $$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{[2+(-1)^n]}{2^n}}\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{2+(-1)^n}}{2}=\frac{1}{2}, $$ a zatem stosując kryterium Cauchyego możemy stwierdzić, że szereg jest zbieżny.

Szereg \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n}\) jest zbieżny, ponieważ $$ \sqrt[n]{\frac{n^2}{2^n}}=\frac{\sqrt[n]{n^2}}{2}=\frac{\left(\sqrt[n]{n}\right)^2}{2}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac{1}{2}, $$ gdyż \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1\). Ten sam wynik otrzymamy, stosując kryterium d'Alemberta: $$ \frac{\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}}{\frac{n^2}{2^n}}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^2\cdot\frac{1}{2}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac{1}{2}<1. $$

Kryterium d'Alemberta stosujemy przeważnie wtedy, gdy występują silnie. Kryterium Cauchyego – gdy w wyrazie ogólnym szeregu \(n\) jest wykładnikiem potęgi.

1. Zbadamy zbieżność szeregu $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{n^n} $$ za pomocą kryterium d'Alemberta. Mamy $$ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}=\frac{(n+1)!\cdot n^n}{n!\cdot(n+1)^{n+1}} =\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^n\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac{1}{e}<1 $$
2. Kryterium Cauchyego nie da się do tego ciągu zastosować, ponieważ nie ma sposobu na łatwe przedstawienie wyrażenia \(\sqrt[n]{n!}\) bądź obliczenie jego granicy.

Szereg $$ \sum_{n=1}^\infty \cos\frac{1}{n}=\cos1+\cos\frac{1}{2}+\cos\frac{1}{3}+\cos\frac{1}{4}+\dots $$ nie jest zbieżny, ponieważ $$ \lim_{n\to\infty}\cos\frac{1}{n}=\cos\left(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\right)=\cos0=1. $$

Jeśli szereg jest zbieżny na podstawie kryterium Cauchyego bądź d'Alemberta, warunek konieczny zbieżności jest automatycznie spełniony i nie trzeba go sprawdzać.

Jeżeli w szeregu przemiennym \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) począwszy od pewnego miejsca \(n_0\) bezwzględne wartości wyrazów szeregu dążą monotonicznie do zera (tzn \(|a_{n+1}|\geq|a_n|\) oraz \(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)), to szereg ten jest zbieżny.

Szereg $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots $$ nazywamy szeregiem anharmonicznym. Jest to szereg przemienny, zachodzi ponadto $$ 1>\frac{1}{2}>\frac{1}{3}>\frac{1}{4}>\dots>\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}>\dots $$ oraz \(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\), a zatem szereg jest zbieżny.

Jeżeli szereg \(\sum_{n=1}^\infty |a_n|\) jest zbieżny, to również szereg \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) jest zbieżny.

1. Szereg anharmoniczny jest warunkowo zbieżny.
2. Szereg $$ \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^8}-\frac{1}{2^9} +\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{2^{11}}-\frac{1}{2^{12}}+\dots=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{(n+1)_{\text{mod 3}}}}{2^n} $$ jest bezwzględnie zbieżny.