dr hab. Ilona Iglewska-Nowak, prof. ZUT

Funkcją nazywamy jednoznaczne przyporządkowanie każdemu elementowi pewnego zbioru \(X=D(f)\), zwanego dziedziną, dokładnie jednego elementu pewnego zbioru \(Y\), zwanego przeciwdziedziną. Oznaczamy to $$ f:\,X\to Y, $$ gdzie \(f\) jest nazwą funkcji. Jeśli \(X,\,Y\subseteq\mathbb{R}\), mówimy o funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej. \(x\in X\) nazywamy zmienną niezależną, a \(y\in Y\) – zmienną zależną. Zbiór takich elementów przeciwdziedziny, które są przyporządkowane pewnym elementom dziedziny, nazywamy obrazem (zbiorem wartości) funkcji i oznaczamy \(\mathrm{ima}\, f\), $$ \mathrm{ima}\, f=\{y\in Y|\, f(x)=y\text{ dla pewnego }x\in X\}. $$

Funkcja jest ,,maszyną'', która z elementów swojej dziedziny ,,produkuje'' elementy przeciwdziedziny. Aby podkreślić ten dynamizm, funkcję zapisuje sie z użyciem strzałek: \begin{align*} f:\,X&\to Y,\\ x&\mapsto f(x). \end{align*} Można również mówić o funkcji \(f\), pamiętajaąc, że chodzi o pewien przepis na przekształcenie liczb. Zapis wzoru funkcji, np. \(f:\,x\mapsto x^2\) skraca się czasem do \(f(x)=x^2\), natomiast samo \(f(x)\) nie jest funkcją, tylko wartością funkcji dla zmiennej o wartości \(x\).

Funkcja może być zadana na różne sposoby, np.

1. za pomocą wzoru, \(y(x)=x^3-x^2+\log x\),
2. za pomocą tablicy, np. temperatura gazu w zależności od ciśnienia dla kilku pomiarów,
3. za pomocą opisu, np. funkcja przyporządkowuje liczbom wymiernym \(1\), a niewymiernym \(0\).

Często nie podaje się dziedziny ani przeciwdziedziny funkcji. Wówczas jako dziedzinę bierze się największy zbiór, dla którego funkcja jest zdef{}iniowana (chyba że z kontekstu wynika inaczej), a jako przeciwdziedzinę – obraz funkcji lub jakiś zbiór go zawierający, w zależności od kontekstu.

1. Funkcję nazywamy iniekcją bądź funkcją różnowartościową, jeśli (każdym) dwóm różnym elementom dziedziny przyporządkowane są dwa różne elementy przeciwdziedziny: $$ x_1\ne x_2\implies f(x_1)\ne f(x_2) $$ lub równoważnie: $$ f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2. $$
2. Funkcję nazywamy suriekcją lub funkcją na, jeśli każdy element przeciwdziedziny jest obrazem pewnego elementu dziedziny, tzn. przeciwdziedzina jest obrazem funkcji: \[Y=\mathrm{ima}\, f.\]
3. Funkcję nazywamy bijekcją albo funkcją wzajemnie jednoznaczną, jeśli jest jednocześnie iniekcją i suriekcją.

1. Funkcja \begin{align*} f:\,\mathbb{R}&\to\mathbb{R}\\ x&\mapsto x^2 \end{align*} nie jest ani iniekcją, ani suriekcją.
2. Funkcja \begin{align*} f:\,\mathbb{R}&\to[0,\infty)\\ x&\mapsto x^2 \end{align*} nie jest iniekcją, ale jest suriekcją.
3. Funkcja \begin{align*} f:\,[0,\infty)&\to\mathbb{R}\\ x&\mapsto x^2 \end{align*} jest iniekscją, ale nie jest suriekcją.
4. Funkcja \begin{align*} f:\,[0,\infty)&\to[0,\infty)\\ x&\mapsto x^2 \end{align*} jest bijekcją.

1. Funkcję \(f\) nazywamy monotonicznie rosnącą, jeśli \[x_2>x_1\implies f(x_2)>f(x_1).\]
2. Funkcję \(f\) nazywamy monotonicznie niemalejącą, jeśli \[x_2>x_1\implies f(x_2)\geq f(x_1).\]
3. Funkcję \(f\) nazywamy monotonicznie malejącą, jeśli \[x_2>x_1\implies f(x_2)\lt f(x_1).\]
4. Funkcję \(f\) nazywamy monotonicznie nierosnącą, jeśli \[x_2>x_1\implies f(x_2)\leq f(x_1).\]

Funkcja \(f(x)=x^3\) jest monotonicznie rosnąca, funkcja \(f(x)=x^2\) jest monotonicznie malejąca w przedziale \((-\infty,0]\) i monotonicznie rosnąca w przedziale \([0,\infty)\). Funkcja \(f(x)=[x]\) (entier, przyporządkowująca każdej liczbie rzeczywistej \(x\) największą liczbę całkowitą mniejszą lub równą \(x\)) jest niemalejąca.

1. Funkcję \(f\) nazywamy wypukłą w dół (wypukłą) w przedziale \(I\), jeśli dla dowolnych \(x_1,\,x_2\in I\) zachodzi $$ f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}. $$
2. Funkcję \(f\) nazywamy wypukłą w górę (wklęsłą) w przedziale \(I\), jeśli dla dowolnych \(x_1,\,x_2\in I\) zachodzi $$ f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\geq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}. $$

Wypukłość w dół można również scharakteryzować następująco: $$ \forall\alpha\in(0,1):\,f\left(\alpha\cdot x_1+(1-\alpha)\cdot x_2\right)\leq\alpha\cdot f(x_1)+(1-\alpha)\cdot f(x_2). $$ Podobnie dla wypukłości w górę. Wykres funkcji \(f\) wypukłej w dół w przedziale \([a,b]\) leży całkowicie poniżej lub na siecznej, łączącej punkty \((a,f(a))\) oraz \((b,f(b))\), natmiast wykres funkcji wypukłej w górę leży całkowicie powyżej lub na siecznej.

1. Funkcja liniowa jest wypukła zarówno w dół, jak i w górę w całej swej dziedzinie.
2. Funkcja kwadratowa o współczynniku kierunkowym dodatnim jest wypukła w dół w całej dziedzinie, a funkcja kwadratowa o współczynniku kierunkowym ujemnym jest wypukła w górę w całej dziedzinie.
3. Funkcja \(x\mapsto x^3\) jest wypukła w górę w przedziale \((-\infty,0]\), a wypukła w dół w przedziale \([0,\infty)\).

Funkcję nazywamy ograniczoną, jeżeli istnieje takie \(M\in\mathbb{R}_+\), że \(\mathrm{ima}\, f\in[-M,M]\).

1. Funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym różnym od zera jest nieograniczona.
2. Wielomiany są nieograniczone.
3. Sinus jest ograniczony.
4. \(x\mapsto x-[x]\) jest ograniczony.

1. Funkcję \(f\) nazywamy parzystą, jeżeli dla każdego \(x\) z jej dziedziny zachodzi $$ f(x)=f(-x). $$
2. Funkcję \(f\) nazywamy nieparzystą, jeżeli dla każdego \(x\) z jej dziedziny zachodzi $$ f(x)=-f(-x). $$
3. Funkcję \(f\) nazywamy okresową o okresie \(T\), jeżeli dla każdego \(x\) mamy \begin{equation}\tag{1}\label{okresowa} f(x)=f(x+T). \end{equation} Najmniejszą liczbę \(T\), dla której warunek \eqref{okresowa} jest spełniony, nazywamy okresem podstawowym.

Dziedzina funkcji parzystej bądź nieparzystej musi być ,,symetryczna'' względem zera. Dziedzina funkcji okresowej jest ,,okresowa'' oraz nieograniczona.

Sinus jest funkcją nieparzystą, cosinus parzystą, obie są okresowe o okresie \(2\pi\), tangens i cotangens są okresowe o okresie \(\pi\). Funkcja \(x\mapsto x^2\) jest parzysta, a funkcja \(x\mapsto x^3\) jest nieparzysta.

Aby sprawdzić, że funkcja \(f\) nie jest parzysta (lub nieparzysta), wystarczy wykazać \(f(a)\ne f(-a)\) (lub \(f(a)\ne-f(-a)\)) dla jednej wartości argumentu \(a\).

Niech dane będą funkcje \(f:\,D(f)\rightarrow Y(f)\) oraz \(g:\,D(g)\rightarrow Y(g)\). Wówczas

1. suma \(f+g\), różnica \(f-g\) i iloczyn \(f\cdot g\) funkcji \(f\) i \(g\) są zdefiniowane na zbiorze \(D(f)\cap D(g)\) jako \begin{align*} (f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x),\\ (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x). \end{align*}
2. Iloraz funkcji \(f/g\) jest zdefiniowany na zbiorze \(D(f)\cap D(g)\setminus\{x\in D(g):\,g(x)=0\}\) jako $$ f/g(x)=\frac{f(x)}{g(x)}. $$
3. Jeżeli \(Y(f)\subseteq D(g)\), funkcję $$ g\circ f(x)=g(f(x)) $$ nazywamy złożeniem (superpozycją) funkcji \(f\) i \(g\) bądź funkcją złożoną (superponowaną). Funkcję \(g\) nazywa się funkcją zewnętrzną, a funkcję \(f\) funkcją wewnętrzną funkcji złożonej.

Różnica funkcji \(f(x)=\frac{1}{x}\) i \(g(x)=\frac{1}{x}\) jest zdefiniowana na zbiorze \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) i równa \(0\).

Niech dane będą funkcje \begin{align*} f:\,&\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}_+\\ &x\mapsto\frac{1}{x^2} \end{align*} i \begin{align*} g:\,&\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\setminus\{1\}\\ &x\mapsto\frac{x-2}{x-1}. \end{align*} Suma, różnica i iloczyn zdefiniowane są na zbiorze \((-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,\infty)\) jako \begin{align*} (f+g)(x)&=\frac{1}{x^2}+\frac{x-2}{x-1},\\ (f-g)(x)&=\frac{1}{x^2}-\frac{x-2}{x-1},\\ (fg)(x)&=\frac{x-2}{x^2(x-1)}, \end{align*} natomiast iloraz zdefiniowany jest na zbiorze \((-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,2)\cup(2,\infty)\) (ponieważ \(g(2)=0\)) jako $$ (f/g)(x)=\frac{x-1}{x^2(x-2)}. $$ Funkcji tych nie możemy superponować, ponieważ \(Y(f)\nsubseteq D(g)\). Innymi słowy, w zbiorze wartości funkcji \(f\) jest liczba \(1\), która nie należy do dziedziny funkcji \(g\). Podobnie nie istnieje złożenie \(f\circ g\).

Niech dane będą funkcje \begin{align*} f:\,\mathbb{R}\to[-1,1],\,x&\mapsto\sin(x),\\ g:\,(0,\infty)\to\mathbb{R},\,x&\mapsto\log(x),\\ \text{oraz}\quad h:\mathbb{R}\to[0,\infty),\,x&\mapsto x^2. \end{align*} Wówczas \begin{align*} &f\circ g(x)=f(g(x))=f(\log x)=\sin(\log x)\quad\text{lub}\\ &\qquad\qquad f\circ g(x)=f(g(x))=\sin(g(x))=\sin(\log x),\\ &g\circ f\text{ nie istnieje, ponieważ argumentem logarytmu może być tylko liczba dodatnia,}\\ &\qquad\qquad\text{a wartości sinusa są również ujemne},\\ &f\circ h(x)=f(h(x))=f(x^2)=\sin(x^2)\quad\text{lub}\\ &\qquad\qquad f\circ h(x)=f(h(x))=\sin(h(x))=\sin(x^2),\\ &h\circ f(x)=h(f(x))=h(\sin x)=(\sin x)^2\quad\text{lub}\\ &\qquad\qquad h\circ f(x)=h(f(x))=(f(x))^2=(\sin x)^2,\\ &g\circ h\text{ nie istnieje, ponieważ argumentem logarytmu może być tylko liczba dodatnia,}\\ &\qquad\qquad\text{a wartością kwadratu jest również zero},\\ &h\circ g(x)=h(g(x))=h(\log x)=(\log x)^2\quad\text{lub}\\ &\qquad\qquad h\circ g(x)=h(g(x))=(g(x))^2=(\log x)^2.\\ \end{align*}

Iloczyn funkcji \(f:\, x\mapsto x\) oraz \(g:\, x\mapsto\frac{1}{x}\) dany jest wzorem $$ f\cdot g:\,x\mapsto1, $$ ale zdefiniowany ,,tylko'' na zbiorze \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) (ponieważ na tym zbiorze zdefiniowana jest funkcja \(g\)).

Niech dana będzie funkcja \(f:\,X\to Y\) oraz zbiory \(A\subseteq X\) i \(B\subseteq Y\).

1. Obrazem zbioru \(A\) nazywamy zbiór wartości funkcji dla argumentów ze zbioru \(A\): $$ f(A)=\{f(x):\,x\in A\}. $$
2. Przeciwobrazem zbioru \(B\) jest zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji należą do zbioru \(B\): $$ f^{-1}(B)=\{x:\,f(x)\in B\}. $$ Jeśli zbiór jest jednoelementowy, możemy pisać \(f^{-1}(b)\) zamiast \(f^{-1}(\{b\})\).

Niech \begin{align*} f:\,\{-2,-1,0,1,3\}&\to\{0,1,4,5,9\},\\ x&\mapsto x^2. \end{align*} Wówczas \begin{align*} &f(\{-1,1\})=f(\{1\})=\{1\},\\ &f(\{-2,3\})=\{4,9\},\\ &f^{-1}(\{0,1\})=\{-1,0,1\},\\ &f^{-1}(\{1\})=\{-1,1\},\\ &f^{-1}(\{5\})=\varnothing,\\ &f^{-1}(\{4\})=\{-2\},\\ &f^{-1}(\{0\})=\{0\}. \end{align*}

Niech \(A\) i \(B\) będą podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych. Funkcja \(f:\,A\to B\) jest odwracalna, jeśli istnieje funkcja \(f^{-1}:\,B\to A\) (zwana funkcją odwrotną do \(f\)), taka że \(f\circ f^{-1}=\text{Id}_B\) oraz \(f^{-1}\circ f=\text{Id}_A\). Symbol \(\text{Id}_S\) oznacza funkcję identycznościową na zbiorze \(S\): \(\text{Id}_S(x)=x\).

Niech \(A\) i \(B\) będą podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych. Funkcja \(f:\,A\to B\) jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.

1. Funkcją odwrotną do \begin{align*} f:\,\mathbb{R}&\to\mathbb{R}\\ x&\mapsto x \end{align*} jest \(f\), ponieważ \(f(D(f))=Y(f)\) oraz \(f(f(x))=f(x)=x\).
2. Funkcja \begin{align*} f:\,\mathbb{R}_+&\to\mathbb{R}\\ x&\mapsto x \end{align*} nie jest odwracalna, bo nie jest suriekcją.
3. Funkcją odwrotną do \begin{align*} f:\,\mathbb{R}_+&\to\mathbb{R}_+\\ x&\mapsto x^2 \end{align*} jest \begin{align*} f^{-1}:\,\mathbb{R}_+&\to\mathbb{R}_+\\ x&\mapsto\sqrt{x}. \end{align*} Zachodzi \(Y(f)=X(f^{-1})\), \(Y(f^{-1})=D(f)\) oraz \begin{align*} &f\circ f^{-1}(x)=f(f^{-1}(x))=f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x,\\ &f^{-1}\circ f(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(x^2)=\sqrt{x^2}=|x|=x\quad\text{(dla }x\in\mathbb{R}_+). \end{align*}
4. Funkcją odwrotną do \begin{align*} f:\,\mathbb{R}_-&\to\mathbb{R}_+\\ x&\mapsto x^2 \end{align*} jest \begin{align*} f^{-1}:\,\mathbb{R}_+&\to\mathbb{R}_-\\ x&\mapsto-\sqrt{x}. \end{align*} Zachodzi \(Y(f)=\mathbb{R}_+=X(f^{-1})\), \(Y(f^{-1})=\mathbb{R}_-=D(f)\) oraz \begin{align*} &f\circ f^{-1}(x)=f(f^{-1}(x))=f(-\sqrt{x})=(-\sqrt{x})^2=x,\\ &f^{-1}\circ f(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(x^2)=-\sqrt{x^2}=-|x|=x\quad\text{(dla }x\in\mathbb{R}_-). \end{align*}

Miejscem zerowym funkcji nazywamy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość \(0\).

Miejsce zerowe jest liczbą, a nie parą liczb.

Znajdź miejsce zerowe funkcji \(f(x)=2x+3\).