Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
Wykłady

Elementy geometrii analitycznej

Wektory

Przestrzeń \(\mathbb R^3\) stanowią wszystkie uporządkowane trójki \((x,y,z)\) liczb rzeczywistych. Możliwe są różne interpretacje geometryczne:
  1. jako zbiór punktów w przestrzeni,
  2. jako zbiór wektorów zaczepionych w przestrzeni,
  3. jako zbiór wektorów swobodnych w przestrzeni.
Analogicznie dla przestrzeni \(\mathbb R^2\).
Definicja
  1. Mówimy, że punkty \(A\), \(B\), \(C\) przestrzeni \(\mathbb R^3\) są współliniowe, gdy istnieje prosta, do której należą te punkty.
  2. Mówimy, że punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) przestrzeni \(\mathbb R^3\) są współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, do której należą te punkty.
  3. Mówimy, że wektory \(\vec a\), \(\vec b\) są współliniowe (równoległe), gdy istnieje prosta, w której zawarte są te wektory.
  4. Mówimy, że wektory \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) są współpłaszczyznowe (równoległe), gdy istnieje płaszczyzna, w której zawarte są te wektory.
Twierdzenie
  1. Wektory \(\vec a\), \(\vec b\) są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby rzeczywiste \(\alpha\), \(\beta\) takie, że \[\alpha^2+\beta^2>0\qquad\text{oraz}\qquad\alpha\vec a+\beta\vec b=\vec0.\]
  2. Wektory \(\vec a\), \(\vec b\) są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby rzeczywiste \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) takie, że \[\alpha^2+\beta^2+\gamma^2>0\qquad\text{oraz}\qquad\alpha\vec a+\beta\vec b+\gamma\vec c=\vec0.\]
Innymi słowy, współliniowość i współpłaszczyznowość odpowiadają liniowej zależności.
Definicja
układem współrzędnych w przestrzeni nazywamy trzy ostalone proste \(OX\), \(OY\), \(OZ\), przecinające się w jednym punkcie \(0\), które są wzajemnie prostopadłe. Taki układ oznaczamy przez \(OXYZ\), a proste nazywamy osiami.
Będziemy korzystać z prwoskrętnych układów współrzędnych.
Definicja
Wektory \(\vec i=(1,0,0)\), \(\vec j=(0,1,0\) i \(\vec k=(0,0,1)\) nazywamy wersorami odpowiednio na osiach \(OX\), \(OY\), \(OZ\).
Definicja
długość wektora \(\vec v=(x,y,z)\) określona jest wzorem \[|\vec v|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\]
Przykład
Oblicz długości wektorów \(\vec u=(-3,0,4)\); \(\vec v=(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt{31})\); \(\vec{AB}\), gdzie \(A=(2,1,-3)\), \(B=(-1,1,4)\).
Twierdzenie
Niech \(\vec u\), \(\vec v\) będą wektorami w \(\mathbb R^3\) oraz niech \(\alpha\in\mathbb R\). Wówczas:
  1. \(|\vec u|\geq0\) oraz \(|\vec u|=0\iff\vec u=\vec0\);
  2. \(|\alpha\vec u|=|\alpha|\cdot|\vec u|\);
  3. \(|\vec u+\vec v|\leq|\vec u|+|\vec v|\);
  4. \(\bigl||\vec u|-|\vec v|\bigr|\leq|\vec u-\vec v|\).

Iloczyn skalarny

Definicja
Niech \(\vec u\) i \(\vec v\) bądą dowolnymi wektorami w \(\mathbb R^3\). Iloczym skalarny wektorów \(\vec u\) i \(\vec v\) dany jest wzorem \[\vec u\circ\vec v=|\vec u|\cdot|\vec v|\cdot\cos\measuredangle(\vec u,\vec v).\]
Twierdzenie
Niech \(\vec u=(x_u,y_u,z_u)\) oraz \(\vec v=(x_v,y_v,z_v)\) będą wektorami w \(\mathbb R^3\). Wówczas \[\vec u\circ\vec v=x_u\cdot x_v+y_u\cdot y_v+z_u\cdot z_v.\]
Przykład
Oblicz ką ty między parami wektorów:
  1. \(\vec u=(3,-1,2)\), \(\vec v=(4,2,-5)\);
  2. \(\vec u=(3,-1,2)\), \(\vec v=(1,2,3)\).
Twierdzenie
Niech \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) będą wektorami w \(\mathbb R^3\) oraz niech \(\alpha\in\mathbb R\). Wówczas:
  1. \(\vec u\circ\vec v=\vec v\circ\vec u\);
  2. \((\alpha\vec u)\circ\vec v=\alpha(\vec u\circ\vec v)\);
  3. \(\vec u\circ\vec u=|\vec u|^2\);
  4. \((\vec u+\vec v)\circ\vec w=\vec u\circ\vec w+\vec v\circ\vec w\);
  5. \(|\vec u\circ\vec v|\leq|\vec u|\cdot|\vec v|\);
  6. \(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\circ\vec v=0\).
Przykład
Oblicz iloczyn skalarny wektorów \(\vec a\) i \(\vec b\), jeżeli \(\vec a=3\vec p-2\vec q\), \(\vec b=\vec p-5\vec q\), przy czym \(\vec p\) i \(\vec q\) są wzajemnie prostopadłymi wersorami.

Iloczyn wektorowy

Definicja
Niech \(\vec u\) i \(\vec v\) będą niewspółliniowymi wektorami w \(\mathbb R^3\). Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary wektorów \(\vec u\) i \(\vec v\) nazywamy wektor \(\vec w=\vec u\times\vec v\), który spełnia warunki:
  1. jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach \(\vec u\) i \(\vec v\);
  2. jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach \(\vec u\) i \(\vec v\), tzn. \[|\vec w|=|\vec u|\cdot|\vec v|\cdot\sin\measuredangle(\vec u,\vec v);\]
  3. orientacja trójki wektorów \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) jest zgodna z orientacją układu współrzędnych.
Twierdzenie
Niech \(\vec u=(x_u,y_u,z_u)\) oraz \(\vec v=(x_v,y_v,z_v)\) będą wektorami w \(\mathbb R^3\). Wtedy \[\vec u\times\vec v=\left|\begin{array}{ccc}\vec i&\vec j&\vec k\\x_u&y_u&z_u\\x_v&y_v&z_v\end{array}\right|,\] gdzie \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\) oznaczają wersory odpowiednio na osiach \(OX\), \(OY\), \(OZ\).
Przykład
Oblicz iloczyny wektorowe par wektorów:
  1. \(\vec u=(-1,2,5)\), \(\vec v=(2,0,-3)\);
  2. \(\vec u=(-1,-3,4)\), \(\vec v=(,5,6)-2\).
Twierdzenie
Niech \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) będą dowolymi wektorami w \(\mathbb R^3\) oraz niech \(\alpha\in\mathbb R\). Wówczas
  1. \(\vec u\times\vec v=-\vec v\times\vec u\);
  2. \((\alpha\vec u)\times\vec v=\vec u\times(\alpha\vec v)=\alpha(\vec u\times\vec v)\);
  3. \((\vec u+\vec v)\times \vec w=\vec u\times\vec w+\vec v\times\vec w\);
  4. \(\vec u\times(\vec v+\vec w)=\vec u\times\vec v+\vec u\times\vec w\);
  5. \(|\vec u\times\vec v|\leq|\vec u|\cdot|\vec v|\);
  6. \(\vec u\parallel\vec v\iff\vec u\times\vec v=\vec0\).
Przykład
Oblicz pola podanych obszarów:
  1. równoległobok rozpięty na wektorach \(\vec u=(0,3,-2)\) i \(\vec v=(-1,2,5)\);
  2. trójkąt o wierzchołkach \(A=(1,2,3)\), \(B=(0,-1,2)\), \(C=(0,4,0)\).
Przykład
Uzasadnij tożsamość \((\vec p+\vec q)\times(\vec p-\vec q)=-2(\vec p\times\vec q)\), gdzie \(\vec p,\,\vec q\in\,athbb R^3\). Następnie pokaż, że pole \(S\) równoległoboku o przekątnych \(\vec p\), \(\vec q\) wyraża się wzorem \[S=\frac{1}{2}|\vec p\times\vec q|.\]

Iloczyn mieszany

Definicja
Niech \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) będą wektorami w \(\mathbb R^3\). Iloczyn mieszany uporządkowanej trójki wektorów \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) dany jest wzorem \[(\vec u,\vec v,\vec w)=(\vec u\times\vec v)\circ\vec w.\]
Przykład
Korzystając z definicji, oblicz \((\vec u,\vec v,\vec w)\) dla \(\vec u=(-2,1,3)\), \(\vec v=(4,3,-1)\), \(\vec w=(1,0,-2)\).
Uwaga
Iloczyn mieszany wektorów \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) jest (z dokładnością) do znaku równy objętości równoległościanu rozpiętego na tych wektorach: \[V=|(\vec u,\vec v,\vec w)|.\]
Twierdzenie
Niech \(\vec u=(x_u,y_u,z_u)\), \(\vec v=(x_v,y_v,z_v)\), \(\vec w=(x_w,y_w,z_w)\) będąwektorami w \(\mathbb R^3\). Wówczas \[(\vec u,\vec v,\vec w)=\left|\begin{array}{ccc}x_u&y_u&z_u\\x_v&y_v&z_v\\x_w&y_w&z_w\end{array}\right|.\]
Przykład
Oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach \(P=(1,1,1)\), \(Q=(1,2,3)\), \(R=(-1,1,0)\), \(S=(0,0,1)\).
Twierdzenie
Niech \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\), \(\vec r\) będą wektorami w \(\mathbb R^3\) oraz niech \(\alpha\in\mathbb R\). Wówczas
  1. \((\vec u,\vec v,\vec w)=(\vec v,\vec w,\vec u)\);
  2. \((\vec u,\vec v,\vec w)=-(\vec v,\vec u,\vec w)\);
  3. \((\vec u+\vec r,\vec v,\vec w)=(\vec u,\vec v,\vec w)+(\vec r,\vec v,\vec w)\);
  4. \((\alpha\vec u,\vec v,\vec w)=\alpha(\vec u,\vec v,\vec w)\);
  5. wektory \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) leżą w jednej płaszczyźnie \(\iff(\vec u,\vec v,\vec w)=0\);
  6. \(|(\vec u,\vec v,\vec w)|\leq|\vec u|\cdot|\vec v|\cdot|\vec w|\).
Przykład
  1. Oblicz wysokość trójkąta \(ABC\) opuszczonę z wierzchłka \(C\), jeśli \(A=(1,1,1)\), \(B=(2,2,2)\), \(C=(3,4,5)\).
  2. Oblicz wysokość czworościanu \(ABCD\) opuszczoną z wierzchołka \(D\), jeśli \(A=(0,0,0)\), \(B=(1,0,0)\), \(C=(0,2,3)\), \(D=(3,4,5)\).

Płaszczyzna w przestrzeni

Równanie normalne płaszczyzny

Równanie płaszczyzny \(\pi\) przechodzącej przez punkt \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) o wektorze wodzącym \(\vec{r}_0\) i prostopadłej do wektora \(\vec{n}=(A,B,C)\ne\vec{0}\) ma postać \[\pi:\,(\vec{r}-\vec{r}_0)\circ\vec{n}=0,\] gdzie \(\circ\) oznacza iloczyn skalarny wektorów, a \(\vec{r}=(x,y,z)\) jest wektorem wodzącym płaszczyzny \(\pi\). Można to równanie zapisać w postaci \[\pi:\,A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.\] Jest to równanie normalne płaszczyzny (w postaci wektorowej i w postaci rozwiniętej).
Przykład
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(P_0=(-1,2,0)\) i prostopadłej do wektora \(\vec{n}=(2,-3,1)\) ma postać \[2(x+1)-3(y-2)+z=0.\]

Równanie ogólne płaszczyzny

Każde równanie postaci \[\pi:\,Ax+By+Cz+D=0,\] gdzie \(|A|+|B|+|C|>0\), przedstawia płaszczyznę. Płaszczyzna ta ma wektor normalny \(\vec{n}=(A,B,C)\) i przecina oś \(OZ\) w punkcie \(z=-\frac{D}{C}\), o ile \(C\ne0\).
Przykład
Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(P=(3,-2,5)\) i równoległej do płaszczyzny \(YZ\).
Rozwiązanie. \(\vec{n}=(1,0,0)\), bo płaszczyzna ma być równoległa do płaszczyzny \(YZ\). Stąd \(A=1\), \(B=0\), \(C=0\) i dalej \(D=-3A+2B-5C=-3\). Zatem \[\pi:\,x-3=0.\]

Równanie parametryczne płaszczyzny

Równanie płaszczyzny \(\pi\) przechodzącej przez punkt \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) o wektorze wodzącym \(\vec{r}_0\) i rozpiętej na niewspółliniowych wektorach \(\vec{u}=(a_1,b_1,c_1)\) oraz \(\vec{v}=(a_2,b_2,c_2)\) ma postać \[\pi:\,\vec{r}=\vec{r}_0+s\vec{u}+t\vec{v},\qquad\text{gdzie }s,t\in\mathbb{R}.\] lub \[\pi:\,(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+s(a_1,b_1,c_1)+t(a_2,b_2,c_2),\qquad\text{gdzie }s,t\in\mathbb{R}.\]
Przykład
Równanie parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez początek układu współrzędnych i równoległej do wektorów \(\vec{u}_1=(1,2,3)\) oraz \(\vec{u}_2=(0,-1,2)\) ma postać \[\pi:\,\vec{r}=s(1,2,3)+t(0,-1,2),\qquad\text{gdzie }s,t\in\mathbb{R}.\]

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty

Równanie płaszczyzny \(\pi\) przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty \(P_j=(x_j,y_j,z_j)\), \(j=1,2,3\), ma postać \[\pi:\,\left|\begin{array}{cccc}x &y &z &1\\x_1 &y_1 &z_1 &1\\x_2 &y_2 &z_2 &1\\x_3 &y_3 &z_3 &1\\\end{array}\right|.\]
Przykład
Sprawdź, czy punkty \(P_1=(1,2,-3)\), \(P_2=(2,3,4)\), \(P_3=(0,5,4)\), \(P_4=(5,3,1)\) należą do jednej płaszczyzny.
Rozwiązanie. \[\left|\begin{array}{cccc}1 &2 &-3 &1\\2 &3 &4 &1\\0 &5 &4 &1\\5 &3 &1 &1\\\end{array}\right|\ne0,\] zatem punkty te nie są współpłaszczyznowe.

Równanie odcinkowe płaszczyzny

Równanie płaszczyzny \(\pi\) odcinającej na osiach \(OX\), \(OY\), \(OZ\) układu współrzędnych odpowiednio odcinki \(a,b,c\ne0\) ma postać \[\pi:\,\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.\]
Przykład
Oblicz objętość czworościanu ograniczonego płaszczyzną \(\pi:\,x+2y+3z-6=0\) oraz płaszczyznami układu współrzędnych.
Rozwiązanie. Równanie odcinkowe płaszczyzny ma postać \[\pi:\,\frac{x}{6}+\frac{y}{3}+\frac{z}{2}=1.\] Podstawą tego czworościanu jest trójkąt prostokątny o długościach przyprostokątnych \(6\) i \(3\), a wysokość czworościanu wynosi \(2\). Zatem jego objętość to \[V=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\cdot6\cdot3\right)\cdot2=6.\]

Prosta w przestrzeni

Równanie parametryczne prostej

Równanie prostej \(l\) przechodzącej przez punkt \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) o wektorze wodzącym \(\vec{r}_0\) i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku \(\vec{v}=(a,b,c)\) ma postać \[l:\,(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(a,b,c),\qquad\text{gdzie }t\in\mathbb{R}.\] Jest to równanie parametryczne prostej w postaci wektorowej.
Przykład
Równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkty \(P=(1,2,3)\) oraz \(Q=(3,2,1)\) ma postać \[l:\,(x,y,z)=(1,2,3)+t(3-1,2-2,1-3),\qquad\text{czyli }l:\,(x,y,z)=(1,2,3)+t(3-1,2-2,1-3),\] gdzie \(t\in\mathbb{R}\).

Równanie kierunkowe prostej

Równanie prostej \(l\) przechodzącej przez punkt \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku \(\vec{v}=(a,b,c)\) ma postać \[l:\,\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.\] Ten sposób zapisu równania parametrycznego prostej nazywamy jej równaniem kierunkowym.
Uwaga
Aby nie ograniczać zakresu stosowania równania kierunkowego prostej przyjmujemy, że w mianownikach powyższych ułamków mogą wystąpić zera.
Przykład
Znajdź punkty przcięcia prostej \(l:\,\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-5}{1}\) z płaszczyznami układu współrzędnych.
Rozwiązanie. Dla \(x=0\) mamy \(\frac{-1}{2}=\frac{y+2}{4}\) oraz \(\frac{-1}{2}=\frac{z-5}{1}\), czyli \(y=-4\) i \(z=\frac{9}{2}\). Punktem przecięcia prostej z płaszczyzną \(OY\!Z\) jest zatem \((0,-4,9/2)\). Podobnie dla \(y=0\) otrzymujemy punkt przecięcia z płaszczyzną \(OXZ\) o współrzędnych \((2,0,11/2)\) oraz dla \(z=0\) punkt przecięcia z płaszczyuzną \(OXY\) o wsp'ołrzędnych \((-9,-22,0)\).