Macierz odwrotna i rozwiązywanie układów równań. Równania macierzowe
Niech dany będzie układ równań \[ \left(\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nm}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{array}\right). \] Można go zapisać w postaci \(Ax=y\), gdzie \(A\) jest macierzą, a \(x\) i \(y\) – wektorami kolumnowymi. Formalnym rozwiązaniem takiego układu jest \[x=A^{-1}y.\]Twierdzenie
Układ \(n\) równań liniowych z \(n\) niewiadomymi
\[y=Ax\]
jest jednoznacznie rozwiązywalny wtedy i tylko wtedy, gdy \(\det A\ne0\). Rozwiązanie dane jest wzorem
\[x=A^{-1}y.\]
Przykład
W układzie równań
\[\begin{array}{ccccccc}5x_1&+&3x_2&+&4x_3&=&-18,\\3x_1&&&+&x_3&=&-7,\\2x_1&+&x_2&+&2x_3&=&-9.\end{array}\]
(patrz Przykład ??) mamy
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}5&3&4\\3&0&1\\2&1&2\end{array}\right)
\quad\text{oraz}\quad y=\left(\begin{array}{c}-18\\7\\9\end{array}\right).\] Wyznacznik macierzy \(A\) ma wartość \(12+6-18-5=-5\ne0\), a macierz odwrotna jest równa
\[A^{-1}=-\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}0&1\\1&2\end{array}\right|&-\left|\begin{array}{cc}3&4\\1&2\end{array}\right|&\left|\begin{array}{cc}3&4\\0&1\end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{cc}3&1\\2&2\end{array}\right|&\left|\begin{array}{cc}5&4\\2&2\end{array}\right|&-\left|\begin{array}{cc}5&4\\3&1\end{array}\right|\\\left|\begin{array}{cc}3&0\\2&1\end{array}\right|&-\left|\begin{array}{cc}5&3\\2&1\end{array}\right|&\left|\begin{array}{cc}5&3\\3&0\end{array}\right|\end{array}\right)
=-\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc}-1&-2&3\\4&2&+7\\3&+1&-9\end{array}\right).
\]
Rozwiązaniem układu równań jest
\begin{align*}
x&=A^{-1}y=-\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc}-1&-2&3\\-4&2&7\\3&1&-9\end{array}\right)
\cdot\left(\begin{array}{c}-18\\-7\\-9\end{array}\right)
=-\frac{1}{5}\cdot\left(\begin{array}{c}18+14-27\\72-14-63\\-54-7+81\end{array}\right)\\
&=-\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}5\\-5\\20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\1\\-4\end{array}\right).
\end{align*}
Definicja
Równanie, w którym niewiadomą jest macierz, nazywamy równaniem macierzowym.
Przykład
\[\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)\cdot X=\left(\begin{array}{cc}5&1\\2&4\end{array}\right),\quad X^2-7X+9E_3=0,\]
gdzie \(X\) oznacza macierz, to równania macierzowe.
Twierdzenie
Niech \(A\) będzie macierzą nieosobliwą. Równanie
\[A\cdot X=B\]
(gdzie \(B\) jest dowolną macierzą kwadratową tego samego stopnia, co \(A\)) ma jednoznaczne rozwiązanie
\[X=A^{-1}\cdot B.\]
Równanie
\[X\cdot A=B\]
(gdzie \(B\) jest dowolną macierzą kwadratową tego samego stopnia, co \(A\)) ma jednoznaczne rozwiązanie
\[X=B\cdot A^{-1}.\]
Przykład
\[\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)\cdot X=\left(\begin{array}{cc}5&1\\2&4\end{array}\right)\]