dr hab. Ilona Iglewska-Nowak, prof. ZUT

1. Minorem (podwyznacznikiem) danej macierzy (danego wyznacznika) nazywamy każdy wyznacznik określony tablicą kwadratową powsta\lą z danej macierzy (wyznacznika) przez skreślenie pewnej liczby wierszy oraz kolumn.
2. Minorem odpowiadającym elementowi \(a_{jk}\) danej macierzy kwadratowej \(A\) (danego wyznacznika) nazywamy wyznacznik, który powstaje poprzez skreślenie \(j\)-tego wiersza i \(k\)-tej kolumny. Oznaczamy go \(M_{jk}\).
3. Dopełnieniem algebraicznym \(A_{jk}\) elementu \(a_{jk}\) nazywamy liczbę równą iloczynowi minora \(M_{jk}\) przez \((-1)^{j+k}\): \[ A_{jk}=(-1)^{j+k}\cdot M_{jk}. \]

Układ znaków przy minorach (tzn. liczb \((-1)^{j+k}\)) odpowiada wzorowi szachownicy: \[ \left(\begin{array}{ccccccc}+&-&+&-&\cdots&-&+\\ -&+&-&+&\cdots&+&-\\ +&-&+&-&\cdots&-&+\\ -&+&-&+&\cdots&+&-\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ -&+&-&+&\cdots&+&-\\ +&-&+&-&\cdots&-&+\end{array}\right) \quad\text{lub}\quad \left(\begin{array}{ccccccc}+&-&+&-&\cdots&+&-\\ -&+&-&+&\cdots&-&+\\ +&-&+&-&\cdots&+&-\\ -&+&-&+&\cdots&-&+\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ +&-&+&-&\cdots&+&-\\ -&+&-&+&\cdots&-&+\end{array}\right) \]

Minorami wyznacznika \[ \left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right| \] są np. \begin{align*} &\left|\begin{array}{ccc}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right|,\quad \left|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{44}\end{array}\right|,\quad \left|\begin{array}{cc}a_{12}&a_{14}\\a_{42}&a_{44}\end{array}\right|,\quad \left|\begin{array}{cc}a_{31}&a_{34}\\a_{41}&a_{44}\end{array}\right|,\\ &\left|\begin{array}{cc}a_{12}&a_{14}\\a_{22}&a_{24}\end{array}\right|,\quad \left|\begin{array}{cc}a_{22}&a_{24}\\a_{42}&a_{44}\end{array}\right|,\quad|a_{12}|,\quad|a_{24}|,\quad|a_{31}|,\quad|a_{44}|. \end{align*} Pierwszy z nich jest minorem \(M_{11}\) odpowiadającym elementowi \(a_{11}\), a drugi minorem \(M_{23}\) odpowiadającym elementowi \(a_{23}\). Dopełnienia algebraiczne elementów \(a_{11}\) i \(a_{23}\) równe są \[ A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=\left|\begin{array}{ccc}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right| \] oraz \[ A_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-\left|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{44}\end{array}\right|. \]

Wyznacznik stopnia \(n\) (\(n\geq2\)) jest to suma iloczynów elementów dowolnego wiersza lub kolumny macierzy przez ich dopełnienia algebraiczne.

1. \begin{align*} \left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right| &=a_{11}\cdot\left|\begin{array}{ccc}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right| -a_{21}\cdot\left|\begin{array}{ccc}a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right|\\ &+a_{31}\cdot\left|\begin{array}{ccc}a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right| -a_{41}\cdot\left|\begin{array}{ccc}a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\end{array}\right| \end{align*}
2. \begin{align*} \left|\begin{array}{ccc}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{array}\right| &=a_1\left|\begin{array}{cc}b_2&c_2\\b_3&c_3\end{array}\right|-a_2\left|\begin{array}{cc}b_1&c_1\\b_3&c_3\end{array}\right| +a_3\left|\begin{array}{cc}b_1&c_1\\b_2&c_2\end{array}\right|\\ &=a_1\cdot(b_2c_3-b_3c_2)-a_2\cdot(b_1c_3-b_3c_1)+a_3\cdot(b_1c_2-b_2c_1)\\ &=a_1b_2c_3-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1 \end{align*} Jest to ten sam wzór, który podaliśmy powyżej.
3. \[\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|=a\cdot|d|-c\cdot|b|=ad-cb.\] Jest to ten sam wzór, który podaliśmy powyżej. Uwaga: pionowe kreski oznaczają wyznacznik, a nie wartość bezwzględną. Aby uniknąć nieporozumień, można stosować zapis: \[\text{det}\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)=a\cdot\text{det}(d)-c\cdot\text{det}(b)=ad-cb.\]

Wartość wyznacznika nie zależy od wyboru wiersza/kolumny.

\begin{align*} \left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right| &=1\cdot\left|\begin{array}{cc}5&6\\8&9\end{array}\right|-4\cdot\left|\begin{array}{cc}2&3\\8&9\end{array}\right| +7\cdot\left|\begin{array}{cc}2&3\\5&6\end{array}\right|\\ &=1\cdot(5\cdot9-8\cdot6)-4\cdot(2\cdot9-8\cdot3)+7\cdot(2\cdot6-5\cdot3)\\ &=(45-48)-4\cdot(18-24)+7\cdot(12-15)=-3-4\cdot(-6)+7\cdot(-3)\\&=-3+24-21=0\\ \left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right| &=-2\cdot\left|\begin{array}{cc}4&6\\7&9\end{array}\right|+5\cdot\left|\begin{array}{cc}1&3\\7&9\end{array}\right| -8\cdot\left|\begin{array}{cc}1&3\\4&6\end{array}\right|\\ &=-2\cdot(4\cdot9-7\cdot6)+5\cdot(1\cdot9-7\cdot3)-8\cdot(1\cdot6-4\cdot3)\\ &=-2\cdot(36-42)+5\cdot(9-21)-8\cdot(6-12)\\&=-2\cdot(-6)+5\cdot(-12)-8\cdot(-6)=12-60+48=0 \end{align*}

1. det\(A^T=\)det\(A\).
2. Przestawienie dwóch dowolnych wierszy lub kolumn zmienia wartość wyznacznika na przeciwną.
3. Dodanie \(\lambda\) – krotności pewnego wiersza/pewnej kolumny do innego wiersza/innej kolumny nie zmienia wartości wyznacznika.
4. Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza lub kolumny wyznacznika pomnożymy przez pewną liczbę (operacja elementarna ZI lub SI), to wartość wyznacznika zostanie pomnożona przez tę liczbe (uwaga: dotyczy to również liczby \(0\)).
5. Jeżeli wyznacznik ma dwa wiersze lub dwie kolumny identyczne, to jego wartość jest równa zero.
6. Jeżeli wyznacznik ma jakiś wiersz lub jakąś kolumnę złożoną z samych zer, to jego wartość wynosi zero.
7. Suma iloczynów elementów dowolnego wiersza (kolumny) wyznacznika przez dopełnienia algebraiczne elementów innego wiersza (kolumny) równa się zeru.

Przy obliczaniu wyznaczników stosujemy operacje elementarne w ten sposób, aby doprowadzić wyznacznik do prostszej postaci, tzn. takiej, w której w pewnym wierszu lub w pewnej kolumnie występują zera.

Aby obliczyć wartość wyznacznika \[ W=\left|\begin{array}{ccccc}3&2&-1&-5&4\\7&6&-3&-7&12\\9&-6&4&3&-2\\4&3&-2&-2&1\\5&-2&6&-3&4\end{array}\right|, \] odejmujemy trzykrotność pierwszego wiersza od wiersza drugiego: \[ W=\left|\begin{array}{ccccc}3&2&-1&-5&4\\2&0&0&8&0\\9&-6&4&3&-2\\4&3&-2&-2&1\\5&-2&6&-3&4\end{array}\right|, \] a następnie do trzeciego wiersza dodajemy podwojony czwarty wiersz: \[ W=\left|\begin{array}{ccccc}3&2&-1&-5&4\\2&0&0&8&0\\1&0&0&-1&0\\4&3&-2&-2&1\\5&-2&6&-3&4\end{array}\right|, \] po czym rozwijamy wyznacznik według elementów trzeciego wiersza: \[ W=(-1)\cdot(-1)^{3+1}\cdot\left|\begin{array}{cccc}2&-1&-5&4\\0&0&8&0\\3&-2&-2&1\\2&6&-3&4\end{array}\right| +(-1)\cdot(-1)^{3+4}\cdot\left|\begin{array}{cccc}3&2&-1&4\\2&0&0&0\\4&3&-2&1\\5&-2&6&4\end{array}\right|. \] Każdy z wyznaczników czwartego stopnia rozwijamy względem elementów drugiego wiersza i otrzymujemy: \[ W=-1\cdot8\cdot(-1)^{2+3}\cdot\left|\begin{array}{ccc}2&-1&4\\3&-2&1\\2&6&4\end{array}\right| +1\cdot(-2)\cdot(-1)^{2+1}\cdot\left|\begin{array}{ccc}2&-1&4\\3&-2&1\\2&6&4\end{array}\right|. \] Wyznaczniki występujące w tym wyrażeniu są identyczne (jeśli prześledzić, jak powstały, widać, że składają się z tych samych elementów), a zatem \begin{align*} W&=(8+2)\cdot\left|\begin{array}{ccc}2&-1&4\\3&-2&1\\2&6&4\end{array}\right|\\ &=10\cdot[2\cdot(-2)\cdot4+3\cdot6\cdot4+(-2)\cdot(-1)\cdot1\\&-(-2)\cdot(-2)\cdot4-2\cdot6\cdot1-3\cdot(-1)\cdot4]\\ &=10\cdot(-16+72+2-16-12+12)=10\cdot42=420. \end{align*}

Objętość równoległościanu rozpiętego na trzech liniowo niezależnych wektorach wynosi \(|\text{det}A|\) dla macierzy \(A\) utworzonej z tych wektorów. Analogicznie w przestrzeni dwuwymiarowej.

W przestrzeni geometrycznej \(\mathbb{R}^n\) punkty często identyfikujemy z odpowiadającymi im wektorami.%Ortsvektor

Policz powierzchnię równoległoboku rozpiętego na wektorach \(x_1=(1,0)^T\) i \(x_2=(1,1)^T\).

Rząd macierzy jest równy największemu stopniowi wyjętego z niej różnego od zera minora.

1. W przypadku macierzy \(\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)\) mamy \(\left|\begin{array}{cc}1&2\\4&5\end{array}\right|=1\cdot5-4\cdot2=-3\ne0\), a zatem rząd macierzy wynosi \(2\).
2. Wyznacznik macierzy \(\left(\begin{array}{ccc}3&-2&5\\6&4&4\\9&-6&3\end{array}\right)\) jest różny od zera, zatem jej rząd jest równy \(3\).

Macierzą odwrotną \(A^{-1}\) danej macierzy kwadratowej \(A\) stopnia \(n\) nazywamy macierz, która spełnia równości \[A\cdot A^{-1}=E_n,\quad A^{-1}\cdot A=E_n,\] gdzie \(E_n\) oznacza macierz jednostkową \(E=\text{diag}(1\,1\,\dots1)\) stopnia \(n\).

Jeżeli macierz kwadratowa posiada macierz odwrotną, to jest ona wyznaczona jednoznacznie, tzn. wystarczy żądać spełnienia jednej równości z definicji, druga z nich spełniona jest automatycznie.

Dla macierzy o wymiarach \(n\times k\), gdzie \(n\ne k\), również istnieją odpowiednie macierze \(\tilde{A}^L\) oraz \(\tilde{A}^R\) o wymiarach \(k\times n\) spełniające warunek \(\tilde{A}^L\cdot A=E_k\) oraz \(A\cdot\tilde{A}^R=E_n\) Nazywamy je lewostronną i prawostronną pseudoodwrotnościami macierzy \(A\).

Macierz do\lączona macierzy \(A\) jest to transponowana macierz dopełnień algebraicznych. Oznaczamy ją symbolem \(A^D\): \[A^D=\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{array}\right).\]

Dopełnienia algebraiczne macierzy \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&3&7\\2&4&6\\4&6&0\end{array}\right)\) to \begin{align*} &A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ccc}4&6\\6&0\end{array}\right|=-36,\qquad A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{ccc}2&6\\4&0\end{array}\right|=+24,\\ &\qquad A_{13}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ccc}2&4\\4&6\end{array}\right|=-4,\qquad A_{21}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{ccc}3&7\\6&0\end{array}\right|=+42,\\ &A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{ccc}1&7\\4&0\end{array}\right|=-28,\qquad A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{ccc}1&3\\4&6\end{array}\right|=+6,\\ &\qquad A_{31}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{ccc}3&7\\4&6\end{array}\right|=-10,\qquad A_{32}=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{ccc}1&7\\2&6\end{array}\right|=+8,\\ &A_{33}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{ccc}1&3\\2&4\end{array}\right|=-2. \end{align*} Zatem macierzą do\lączoną jest \[ A^D=\left(\begin{array}{ccc}-36&42&-10\\24&-28&8\\4&6&-2\end{array}\right). \]

Jeżeli macierz kwadratowa \(A=(a_{jk})\) jest macierzą nieosobliwą, tzn. \(\det A\ne0\), to istnieje do niej dokładnie jedna macierz odwrotna \(A^{-1}\). Jest ona równa macierzy do\lączonej pomnożonej przez odwrotność wyznacznika macierzy \(A\).

Weźmy macierz z poprzedniego przykładu. Jej wyznacznik jest równy \[ \det A=a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}=1\cdot(-36)+3\cdot24+7\cdot(-4)=-36+72-28=8\ne0. \] Według twierdzenia macierzą odwrotną do \(A\) jest \[ A^{-1}=\frac{1}{\det A}A^D=\frac{1}{8}\left(\begin{array}{ccc}-36&42&-10\\24&-28&8\\4&6&-2\end{array}\right) =\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}-18&21&-5\\12&-14&4\\2&3&-1\end{array}\right). \] Sprawdźmy: \begin{align*} A\cdot A^{-1}&=\frac{1}{4}\cdot\left(\begin{array}{ccc}1&3&7\\2&4&6\\4&6&0\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc}-18&21&-5\\12&-14&4\\2&3&-1\end{array}\right)\\ &=\frac{1}{4}\cdot\left(\begin{array}{ccc}-18+36-14&21-42+21&-5+12-7\\ -36+48-12&42-56+18&-10+16-6\\72+72&84-84&-20+24\end{array}\right)\\ &=\frac{1}{4}\cdot\left(\begin{array}{ccc}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{array}\right)=E_3. \end{align*}

Niech dana będzie macierz \(\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\), taka że \(ad-bc\ne0\). Jej dopełnienia algebraiczne to \[ A_{11}=d,\qquad A_{12}=-c,\qquad A_{21}=-b,\qquad A_{22}=a, \] zatem macierzą odwrotną jest \[ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d&-c\\b&a\end{array}\right)^T =\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d&-b\\c&a\end{array}\right). \] Sprawdźmy: \begin{align*} A\cdot A^{-1}&=\frac{1}{ad-bc}\cdot\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}d&-b\\c&a\end{array}\right) =\frac{1}{ad-bc}\cdot\left(\begin{array}{cc}ad-bc&-ab+ba\\cd-dc&-cb+da\end{array}\right)\\ &=\frac{1}{ad-bc}\cdot\left(\begin{array}{cc}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{array}\right)=E_2. \end{align*}