Macierze
Definicja
Tablice postaci
\[
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\\
\end{array}\right)
\]
nazywamy macierzami rozmiaru (wymiaru) \(m\times n\). Macierze wymiaru \(m\times1\) oraz \(1\times n\) nazywamy wektorami.Definicja
Niech dana będzie macierz \((a_{jk})\) o wymiarze \(n\times m\) oraz wektor \(x\) o wymiarze \(m\). \(n\) – wymiarowy wektor \(y\), którego współrzędne dane są wzorem
\[
y_j=\sum_{k=1}^m a_{jk}x_k
\]
nazywamy iloczynem macierzy \(A\) i wektora \(x\) i piszemy \(y=Ax\).
Uwaga
Mnożenie macierzy przez wektor nie jest przemienne. ,,\(x\cdot A\)'' w ogólnym przypadku nie istnieje.
Uwaga
Jeżeli zapiszemy macierz w postaci tablicy liczb, a wektor jako kolumnę współrzędnych, to wyrażenie \(y=Ax\) przybierze postać:
\[
\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2m}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nm}\end{array}\right)
\cdot\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_m\end{array}\right)
\]
Przykład
\[
\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\10&11&12\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}1\cdot1+2\cdot2+3\cdot3\\4\cdot1+5\cdot2+6\cdot3\\
7\cdot1+8\cdot2+9\cdot3\\10\cdot1+11\cdot2+12\cdot3\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}14\\32\\50\\68\end{array}\right)
\]
Dla ułatwienia obliczeń stosuje się czasem zapis
\[\begin{array}{ccc|c}
&&&1\\
&&&2\\
&&&3\\\hline
1&2&3&14\\
4&5&6&32\\
7&8&9&50\\
10&11&12&68
\end{array}.\]
Definicja
- Macierz \((a_{jk})\) o wymiarze \(n\times n\) nazywamy kwadratową. Liczbę \(n\) nazywamy wówczas stopniem macierzy.
- Macierz kwadratową, taką że \(a_{jk}=a_{kj}\) dla każdej pary indeksów \(k\), \(j\) nazywamy symetryczną.
- Macierz kwadratową, taką że \(a_{jk}=-a_{kj}\) dla każdej pary indeksów \(k\), \(j\) nazywamy skośnosymetryczną.
- Macierz kwadratową, taką że \(a_{jk}=0\) dla \(j\ne k\), nazywamy diagonalną.
- Macierz kwadratową, taką że \(a_{jk}=0\) dla \(j< k\) lub dla \(j> k\) nazywamy trójkątną.
Uwaga
W macierzy skośnosymetrycznej zachodzi \(a_{kk}=-a_{kk}=0\).
Przykład
- Macierz \[\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&4&5\\3&5&7\end{array}\right)\] jest symetryczna.
- Macierz \[\left(\begin{array}{ccc}0&2&3\\2&0&7\\3&-7&0\end{array}\right)\] jest skośnosymetryczna.
- Macierz \[\left(\begin{array}{ccc}\ast &0&0\\0&\ast &0\\0&0& \ast\end{array}\right),\] gdzie w miejscu \(\ast\) jest dowolna liczba, jest diagonalna.
- Macierze \[\left(\begin{array}{cccc}\ast&0&0&0\\\ast&\ast&0&0\\\ast&\ast&\ast&0\\\ast&\ast&\ast&\ast\end{array}\right) \quad\text{oraz}\quad\left(\begin{array}{cccc}\ast&\ast&\ast&\ast\\0&\ast&\ast&\ast\\0&0&\ast&\ast\\0&0&0&\ast\end{array}\right)\] są trójkątne.
Definicja
- Sumą macierzy \(A=(a_{jk})\) i \(B=(b_{jk})\), obu o wymiarach \(n\times m\), nazywamy macierz \(C=(c_{jk})\) o wymiarze \(n\times m\) taką, że \(c_{jk}=a_{jk}+b_{jk}\). Piszemy \(C=A+B\).
- Różnicą macierzy \(A=(a_{jk})\) i \(B=(b_{jk})\), obu o wymiarach \(n\times m\), nazywamy macierz \(C=(c_{jk})\) o wymiarze \(n\times m\) taką, że \(c_{jk}=a_{jk}-b_{jk}\). Piszemy \(C=A+B\).
- Niech \(A=(a_{jk})\) będzie macierzą o wymiarze \(n\times n\). Macierzą transponowaną \(A^T=(a_{jk}^\prime)\) nazywamy macierz o wymiarze \(m\times n\) taką, że \(a_{jk}^\prime=a_{kj}\). Piszemy \((a_{jk})^T=(a_{kj})\).
- Iloczynem macierzy \(A=(a_{jk})\) o wymiarze \(n\times m\) przez liczbę \(\alpha\) nazywamy macierz \(\alpha\cdot A=(b_{jk})\) o wymiarze \(n\times m\) taką, że \(b_{kj}=\alpha a_{jk}\). Piszemy \(\alpha(a_{jk})=(\alpha\cdot a_{jk})\).
- Iloczynem macierzy \(A=(a_{ij})\) o wymiarze \(n\times m\) przez macierz \(B=(a_{jk})\) o wymiarze \(m\times l\) nazywamy macierz \(A\cdot B=(c_{ik})\) o wymiarze \(n\times l\) taką, że \(c_{ik}=\sum_{j=1}^ma_{ij}b_{jk}\).
Przykład
- \begin{align*}\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}7&8&9\\10&11&12\end{array}\right) &=\left(\begin{array}{ccc}1+7&2+8&3+9\\4+10&5+11&6+12\end{array}\right)\\ &=\left(\begin{array}{ccc}8&10&12\\14&16&18\end{array}\right) \end{align*}
- \begin{align*}\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}7&8&9\\10&11&12\end{array}\right) &=\left(\begin{array}{ccc}1-7&2-8&3-9\\4-10&5-11&6-12\end{array}\right)\\ &=\left(\begin{array}{ccc}-6&-6&-6\\6&-6&-6\end{array}\right) \end{align*}
- \[\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\end{array}\right)^T=\left(\begin{array}{cc}1&4\\2&5\\3&6\end{array}\right)\]
- \[2\cdot\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc}2\cdot1&2\cdot2&2\cdot3\\2\cdot4&2\cdot5&2\cdot6\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc}2&4&6\\8&10&12\end{array}\right)\]
- \begin{align*}&\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\10&11&12\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\\5&6\end{array}\right)\\ &=\left(\begin{array}{cc}1\cdot1+2\cdot3+3\cdot5&1\cdot2+2\cdot4+3\cdot6\\ 4\cdot1+5\cdot3+6\cdot5&4\cdot2+5\cdot4+6\cdot6\\ 7\cdot1+8\cdot3+9\cdot5&7\cdot2+8\cdot4+9\cdot6\\ 10\cdot1+11\cdot3+12\cdot5&10\cdot2+11\cdot4+12\cdot6\end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc}22&28\\49&64\\76&100\\103&136\end{array}\right) \end{align*} Dla ułatwienia obliczeń stosuje się również zapis \[\begin{array}{ccc|cc} &&&1&2\\&&&3&4\\&&&5&6\\\hline1&2&3&22&28\\4&5&6&49&64\\7&8&9&76&100\\10&11&12&103&136 \end{array}.\]
Uwaga
Mnożenie macierzy nie jest przemienne. Nie dość, że w ogólnym przypadku iloczyny \(AB\) i \(BA\) nie są sobie równe. Zazwyczaj \(BA\) w ogóle nie istnieje, bo wymiary macierzy się nie zgadzają. W ostatnim przykładzie iloczyn macierzy w odwrotnej kolejności nie istnieje.
Twierdzenie
Dla macierzy \(A\) i \(B\) o rozmiarach odpowiednio \(k\times m\) oraz \(m\times n\) zachodzi \((AB)^T=B^TA^T\).
Przykład
\begin{align*}
&\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\\5&6\end{array}\right)^T\cdot\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\10&11&12\end{array}\right)^T
=\left(\begin{array}{ccc}1&3&5\\2&4&6\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cccc}1&4&7&10\\2&5&8&11\\3&6&9&12\end{array}\right)\\
&=\left(\begin{array}{cccc}1\!\cdot\!1+3\!\cdot\!2+5\!\cdot\!3&1\!\cdot\!4+3\!\cdot\!5+5\!\cdot\!6&1\!\cdot\!7+3\!\cdot\!8+5\!\cdot\!9&1\!\cdot\!10+3\!\cdot\!11+5\!\cdot\!12\\
2\!\cdot\!1+4\!\cdot\!2+6\!\cdot\!3&2\!\cdot\!4+4\!\cdot\!5+6\!\cdot\!6&2\!\cdot\!7+4\!\cdot\!8+6\!\cdot\!9&2\!\cdot\!10+4\!\cdot\!11+6\!\cdot\!12\end{array}\right)\\
&=\left(\begin{array}{cccc}22&49&76&103\\28&64&100&136\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{cc}22&28\\49&64\\76&100\\103&136\end{array}\right)^T
=\left[\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\10&11&12\end{array}\right)
\cdot\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\\5&6\end{array}\right)\right]^T
\end{align*}